Problema notazione indici

[edge1]

Scusate la sicuramente domanda scema,ma ci sto uscendo matto:
Guardate qui:
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Sta dimostrando come cambia la matrice di un'applicazione lineare cambiando le basi,i passi che fa sono chiari, ma ho un terribile
problema sui pedici e sugli indici,li cambia in continuazione e sono decisamente confuso,ma secondo voi è così necessario cambiarli
sempre o posso adoperare sempre $i$ e $j$?
Assolutamente grazie per le risposte

[cirasa]

Beh, per indicare l'elemento di posto $(i,j)$ della matrice prodotto $AB$ devi sommare rispetto ad un indice e tenere fissi $i$ e $j$, quindi per forza di cose dovrai usare un altro indice, per esempio $k$.
Allo stesso modo, per indicare l'elemento di posto $(i,j)$ del prodotto di tre matrici (nel tuo caso $N^{-1}AM$) devi necessariamente usare due indici rispetto ai quali sommare).
Insomma per la dimostrazione che stai studiando l'uso di quattro indici mi sembra necessario...

[edge1]

Ei grande capo Cirasa, forse ci sono.
Ora ho capito meglio la notazione usata,per fare un prodotto di matrici giustamente fa coincidere l'indice della riga della prima matrice con l'indice della colonna dell'altra,appunto riga per colonna.
Mi è rimasto un dubbio: Alla fine quando scrive:
$B^h _k=...$ perchè proprio $h,k$ c'è un motivo preciso?
Un ultima cosa quando dice 'Tenendo conto di come avvengono i prodotti',ma i prodotti non avvengono all'incontrario di $N^-1*A*M$ ?

[cirasa]

"edge":
Mi è rimasto un dubbio: Alla fine quando scrive:
$B^h_k=...$ perchè proprio $h,k$ c'è un motivo preciso?

No, non c'è un motivo preciso.
Bastava usare due indici qualsiasi diversi da [tex]i,j[/tex] (che erano usati come indici di somma a secondo membro).
Spero che tu abbia afferrato il concetto.

"edge":Un ultima cosa quando dice 'Tenendo conto di come avvengono i prodotti',ma i prodotti non avvengono all'incontrario di $N^-1*A*M$ ?

Non ho capito bene la domanda.
Provo a spiegare quello che è scritto sul tuo libro.
La matrice associata ad [tex]F[/tex] è [tex]\tilde{A}=(b^h_k)[/tex].
Precedentemente hai provato che
(*) [tex]b^h_k=m^i_ka^j_i(n^{-1})^h_j[/tex].
Calcoliamo l'elemento di posto [tex](h,k)[/tex] della matrice [tex]N^{-1}AM[/tex]:
[tex](N^{-1}AM)^h_k=(N^{-1}A)^h_im^i_k=(n^{-1})^h_ja^j_im^i_k=m^i_ka^j_i(n^{-1})^h_j[/tex]
(l'ultima uguaglianza non è altro che la proprietà commutativa della moltiplicazione).
Quindi l'elemento [tex]b^h_k[/tex] di posto [tex](h,k)[/tex] di [tex]\tilde{A}[/tex] è uguale all'elemento di posto [tex](h,k)[/tex] di [tex]N^{-1}AM[/tex] (per ogni [tex]h,k[/tex]), cioè le matrici [tex]\tilde{A}[/tex] e [tex]N^{-1}AM[/tex] sono uguali elemento per elemento, ovvero sono matrici uguali, cioè [tex]\tilde{A}=N^{-1}AM[/tex].
Spero di aver chiarito i tuoi dubbi (e di non aver fatto casini con gli indici ).