Problema nell' $Im(L_1)nnIm(L_2)$
Salve a tutti, sto risolvendo dei vecchi esami di geometria.. (Università di Padova Ingegneria del 20-6-1983)
Sia $L_1:RR^3rarrRR^3$ la mappa lineare definita da $L(x,y,z)=(x+z,x-y,2x-y+z)$
e$L_2:RR^3rarrRR^3$ la mappa lineare associata alla matrice $A=((0,-1,1),(-1,-1,-1),(1,0,2))$
rispetto alla base $B=(0,0,1)(2,1,0)(3,1,0)$ di $RR^3$
a)Assegnare una base per il sottospazio $Im(L_2)$.
b)assegnare una base per il sottospazio $Im(L_1)nnIm(L_2)$
-------------------------------------
essendo $A$ la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base $B$ nelle sue colonne dovrebbero esserci i vettori-immagini della base $B$ cioè
$L_2(0,0,1)=(0,-1,1)L_2(2,1,0)=(-1,-1,0)L_2(3,1,0)=(1,-1,2)
porto in forma canonica questi vettori-immagini della base B(che comunque genereranno $Im(L_2)$) $((0,-1,1),(-1,-1,0),(1,-1,2))$
ottengo due vettori lin.indipendenti $Im(L_2)=<(1,-1,2)(0,-1,1)>$
invece osservando $L_1$ vedo che una sua base potrebbe essere $Im(L_1)=<(1,1,2)(0,1,1)>$
per l'intersezione ho pensato di prendere un generico vettore di $Im(L_2)$ tipo $(a,-a-b,2a+b))$ e lo metto in matrice con la base di $Im(L_1)$ vedo per quali $a,b$ il rango rimane 2, sostituendo tali valori nell'vettore generico ottengo il vettore in comune.
ho ottenuto come intersezione $<(1,0,1)>$
Confrontando i miei risultati con quelli del libro, mi si è crollato una grande certezza a pochi giorni dall'esame!!
sono disperato..
nel libro le soluzioni sono $Im(L_2)=<(1,0,0)(-2,-1,-1)>$
e $Im(L_1)nnIm(L_2)=<(0,-1,-1)>$
qualcuno sa spiegarmi dove sbaglio?
Grazie in anticipoo!
Sia $L_1:RR^3rarrRR^3$ la mappa lineare definita da $L(x,y,z)=(x+z,x-y,2x-y+z)$
e$L_2:RR^3rarrRR^3$ la mappa lineare associata alla matrice $A=((0,-1,1),(-1,-1,-1),(1,0,2))$
rispetto alla base $B=(0,0,1)(2,1,0)(3,1,0)$ di $RR^3$
a)Assegnare una base per il sottospazio $Im(L_2)$.
b)assegnare una base per il sottospazio $Im(L_1)nnIm(L_2)$
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essendo $A$ la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base $B$ nelle sue colonne dovrebbero esserci i vettori-immagini della base $B$ cioè
$L_2(0,0,1)=(0,-1,1)L_2(2,1,0)=(-1,-1,0)L_2(3,1,0)=(1,-1,2)
porto in forma canonica questi vettori-immagini della base B(che comunque genereranno $Im(L_2)$) $((0,-1,1),(-1,-1,0),(1,-1,2))$
ottengo due vettori lin.indipendenti $Im(L_2)=<(1,-1,2)(0,-1,1)>$
invece osservando $L_1$ vedo che una sua base potrebbe essere $Im(L_1)=<(1,1,2)(0,1,1)>$
per l'intersezione ho pensato di prendere un generico vettore di $Im(L_2)$ tipo $(a,-a-b,2a+b))$ e lo metto in matrice con la base di $Im(L_1)$ vedo per quali $a,b$ il rango rimane 2, sostituendo tali valori nell'vettore generico ottengo il vettore in comune.
ho ottenuto come intersezione $<(1,0,1)>$
Confrontando i miei risultati con quelli del libro, mi si è crollato una grande certezza a pochi giorni dall'esame!!
sono disperato..nel libro le soluzioni sono $Im(L_2)=<(1,0,0)(-2,-1,-1)>$
e $Im(L_1)nnIm(L_2)=<(0,-1,-1)>$
qualcuno sa spiegarmi dove sbaglio?
Grazie in anticipoo!
Risposte
Scusa, ma per trovare la base di $L_1$ non dovresti ridurre la matrice $((1,0,1),(1,-1,0),(2,-1,1))$ ?
Così facendo la base non sarebbe uguale alla tua ma formata dai vettori $(1,0,0)$ e $(0,-1.-1)$...
non sono andato avanti con i calcoli ma così facendo almeno c'è uno dei vettori dell'intersezione...
Così facendo la base non sarebbe uguale alla tua ma formata dai vettori $(1,0,0)$ e $(0,-1.-1)$...
non sono andato avanti con i calcoli ma così facendo almeno c'è uno dei vettori dell'intersezione...
oh dio..
si ho ridotto la matrice.. in un passaggio intermedio ho sbagliato a ricopiare-.- scrivendo(1,1,2) invece di (2,-1,-1) te testa di...
sapresti dirmi cosa sbaglio in $L_2$? ho ricontrollato i conti mi sembrano giusti
graziee
si ho ridotto la matrice.. in un passaggio intermedio ho sbagliato a ricopiare-.- scrivendo(1,1,2) invece di (2,-1,-1) te testa di...
sapresti dirmi cosa sbaglio in $L_2$? ho ricontrollato i conti mi sembrano giusti
graziee
dunque...
$L_2(2,1,0) = (-1, -1, 0)$ vuol dire che $(2,1,0) * ((0,-1,1),(-1,-1,-1),(1,0,2)) = (-1, -1, 0) $ ???
Se è così, c'è qualche errore nel testo perchè i conti non tornano...
Non ne sono sicurissimo, ma il tuo ragionamento mi sembra corretto... sono i dati di partenza che mi lasciano un po' così...
$L_2(2,1,0) = (-1, -1, 0)$ vuol dire che $(2,1,0) * ((0,-1,1),(-1,-1,-1),(1,0,2)) = (-1, -1, 0) $ ???
Se è così, c'è qualche errore nel testo perchè i conti non tornano...
Non ne sono sicurissimo, ma il tuo ragionamento mi sembra corretto... sono i dati di partenza che mi lasciano un po' così...
Phoenyx grazie mille per le risposte!!!
la soluzione (incomprensibile) del testo spiega che
"[..] Essendo A la matrice associata a $L_2$ rispetto a $B$ le terne colonne di $A$ sono le tre terne coordinate rispetto a $B$ dei vettori
$L_2(0,0,1)L_2(2,1,0)L_2(3,1,0)$
quindi si avrà
$L_2(0,0,1)=0(0,0,1)-1(2,1,0)+1(3,1,0)=(1,0,0)$
$L_2(2,1,0)=-1(0,0,1)-1(2,1,0)+0(3,1,0)=(-2,-10-1,0)$
$L_2(3,1,0)=0(0,0,1)-1(2,1,0)+2(3,1,0)=(4,1,1)$
dunque $Im(L_2)=<(1,0,0),(-2,-1,-1),(4,1,1)>$ [..]
avendo rango 2 $L_2$ prendo due vettori linearmente indipendenti tra questi, tipo il primo e secondo
$Im(L_2)=<(1,0,0),(-2,-1,-1)>"$
io non capisco il senso.. e non mi spiego quei coefficienti 0,-1,1 ...
qualcuno l'ha capito??
la soluzione (incomprensibile) del testo spiega che
"[..] Essendo A la matrice associata a $L_2$ rispetto a $B$ le terne colonne di $A$ sono le tre terne coordinate rispetto a $B$ dei vettori
$L_2(0,0,1)L_2(2,1,0)L_2(3,1,0)$
quindi si avrà
$L_2(0,0,1)=0(0,0,1)-1(2,1,0)+1(3,1,0)=(1,0,0)$
$L_2(2,1,0)=-1(0,0,1)-1(2,1,0)+0(3,1,0)=(-2,-10-1,0)$
$L_2(3,1,0)=0(0,0,1)-1(2,1,0)+2(3,1,0)=(4,1,1)$
dunque $Im(L_2)=<(1,0,0),(-2,-1,-1),(4,1,1)>$ [..]
avendo rango 2 $L_2$ prendo due vettori linearmente indipendenti tra questi, tipo il primo e secondo
$Im(L_2)=<(1,0,0),(-2,-1,-1)>"$
io non capisco il senso.. e non mi spiego quei coefficienti 0,-1,1 ...
qualcuno l'ha capito??
forse l'ho capito io...
intanto, correggimi se sono in errore, credo che tu abbia sbagliato a ricopiare:
$L_3(3,1,0) = 1(0,0,1)-1(2,1,0)+2(3,1,0) = (4,1,1)$
(c'è un uno come primo coefficiente, e non uno zero)
solo perchè se no i conti non tornano
E poi, effettivamente, la matrice è rispetto alla base $B$.
Quindi, ad esempio, la terza colonna della matrice è l'immagine del terzo vettore della base... ma anch'esso scritto secondo la base $B$.
Se nella terza colonna ci sono i coefficienti 1, -1 e 2... vanno quindi interpretati come coefficienti dei vettori di $B$
Che ne dici?
PS
figurati ormai sono curioso anche io...
intanto, correggimi se sono in errore, credo che tu abbia sbagliato a ricopiare:
$L_3(3,1,0) = 1(0,0,1)-1(2,1,0)+2(3,1,0) = (4,1,1)$
(c'è un uno come primo coefficiente, e non uno zero)
solo perchè se no i conti non tornano
E poi, effettivamente, la matrice è rispetto alla base $B$.
Quindi, ad esempio, la terza colonna della matrice è l'immagine del terzo vettore della base... ma anch'esso scritto secondo la base $B$.
Se nella terza colonna ci sono i coefficienti 1, -1 e 2... vanno quindi interpretati come coefficienti dei vettori di $B$
Che ne dici?
PS
Phoenyx grazie mille per le risposte!!!
figurati ormai sono curioso anche io...
ho sbagliato a ricopiare 1 scrivendo 0 -.- (uff mi capita spesso che sbagli a ricopiare -.- )
mannaggia!! è vero!! anche i vettori immagini sono scritti rispetto a $B$
è vero che come sostenevamo $L_2(0,0,1)=(0,-1,1)$ ma questo (0,-1,1) è espresso rispetto alla base $B$ cioè 0(0,0,1)-(2,1,0)+(3,1,0) che fa (1,0,0)
ho fatto bene a fare questo esercizio! mi ha chiarito una cosa.. che se mi capitava all'esame andavo in pallone -.-
grazie ancora
mannaggia!! è vero!! anche i vettori immagini sono scritti rispetto a $B$
è vero che come sostenevamo $L_2(0,0,1)=(0,-1,1)$ ma questo (0,-1,1) è espresso rispetto alla base $B$ cioè 0(0,0,1)-(2,1,0)+(3,1,0) che fa (1,0,0)
ho fatto bene a fare questo esercizio! mi ha chiarito una cosa.. che se mi capitava all'esame andavo in pallone -.-
grazie ancora
Non c'è di che... ci si vede!
In bocca al lupo per l'esame!
In bocca al lupo per l'esame!
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