Problema nel determinare gli autovalori

[Coraz1]

Salve a tutti, sono uno studente del primo anno di ingegneria meccanica.
Ho attualmente un problema in sospeso con l seguente esercizio:

Sia C = {e1; e2; e3; e4} la base canonica di R4 ed f : R4 in R4 l'applicazione lineare tale che

f(e1) = e1 - e2 - 2e3
f(e2) = -e1 + e2 - 2e3
f(e3) = -2(e1 + e2 + e3)
f(e4) = e1 + e2 + 2e3 + e4

1)Determinare gli autovalori di f;
2) f e diagonalizzabile?
3) Il vettore -e1 + 3e2 + e3 e un autovettore?
4) Considerata la base B = {e1; e1 - e2; e3; e1 + e4}, scrivere la matrice che
rappresenta f rispetto a B.

Il fulcro del problema è dato dal polinomio caratteristico: mi risulta (1-λ)(-λ^3 +12λ -12) =0
Devo ricorrere al metodo di Cardano (seppure stia lavorando in R) per scomporlo o ho sbagliato qualcosa a monte? Per gli altri punti dell'es mi so arrangiare

Ringrazio in anticipo chiunque mi dia una risposta esauriente

Buona serata

[minomic]

Ciao, per prima cosa scriviamo la matrice: $$A = \begin{bmatrix}1&-1&-2&1\\-1&1&-2&1\\-2&-2&-2&2\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$ Ora scriviamo la matrice $$A-\lambda I = \begin{bmatrix}1-\lambda&-1&-2&1\\-1&1-\lambda&-2&1\\-2&-2&-2-\lambda&2\\0&0&0&1-\lambda\end{bmatrix}$$ e imponiamo che il suo determinante sia nullo. Sviluppando lungo l'ultima riga otteniamo $$\left(1-\lambda\right)\left[\left(1-\lambda\right)^2\left(-2-\lambda\right)-4-4+4\left(\lambda-1\right) + 4\left(\lambda-1\right)+\lambda+2\right]=0$$ Con qualche calcolo si ha $$\left(1-\lambda\right)\left(-\lambda^3+12\lambda-16\right)=0$$ Il secondo fattore si può ora scomporre (ad esempio con la regola di Ruffini) e l'equazione da risolvere è $$-\left(1-\lambda\right)\left(\lambda-2\right)^2\left(\lambda+4\right)=0$$ la cui soluzione è immediata.

[Coraz1]

Ok, penso di aver avuto una svista, ho "tralasciato" un 4 per sbaglio. Grazie mille per il tempo che mi hai dedicato

[minomic]

Prego!