Problema isomorfismo

[deltacobra-votailprof]

Salve a tutti ho questo problema:
Applicazione lineare da $ R^4$ a $R^4$ definita da:
$F(1,0,0,0)=(0,0,0,1)$ ,$ F(1,2,0,0)=(4,0,2,1) $, $F(1,2,3,0)=(4,3,2,1)$ , $F(1,2,3,4)=(0,3,2,1)$

1 Calcolare la matrice associata a $F$ rispetto alla base canonica in partenza e in arrivo
2 Stabilire se $F$ è un isomorfismo
3 Stabilire se $F$ è è diagonalizzabile su $R$
4 Trovare un base per ciuascun autospazio di $F$


1 Nel primo caso ho trovato l'applicazione lineare e mi viene $F(x,y,z,t)=(-t,2y+z,y,x)$ non capisco la matrice rispetto la base canonica in partenza e in arrivo voi sapete come devo fare?
2 Per stabilire se $F$ è un isomorfismo devo vedere se l'applicazione è invertibile giusto?
3 Per vedere se è diagonalizzabile devo trovare gli autovalori e gli autospazi e vedere se sono linearmente indipendenti?

Grazie in anticipo per l'aiuto ciao!

[vict85]

1) È la normale matrice di [tex]F[/tex] rispetto alla base canonica. Riscrivi [tex]F\mathbf{v}[/tex] in forma matriciale...
2) Si e no. Puoi anche dimostrare che è iniettiva e suriettiva. Oppure usare questioni di dimensioni dell'immagine.
3) si
4) collegato a quello sopra