Problema insieme denso

[Samuelitos1]

Non riesco a capire un passo di una dimostrazione del mio libro di topologia, scusate perché molto probabilmente la risposta è ovvia.
Io ho X spazio topologico, $ C sube X $ connesso, $ Y sube X $, $ C sube Y sube bar(C)$ devo dimostrare che Y è connesso.
La dimostrazione la fa prendendo A sottoinsieme di Y non vuoto e dimostrando che se A è sia aperto che chiuso allora A=Y.
Ad un certo punto della dimostrazione viene detto che C è denso in Y, perché?
Grazie in anticipo per l'aiuto.

[perplesso1]

"Samuelitos":Ad un certo punto della dimostrazione viene detto che C è denso in Y, perché?

Perchè se consideri $C$ come sottoinsieme del sottospazio $Y$ allora la sua chiusura è $Y$, questo è ovvio perchè la chiusura di $C$ in $X$ "copre" $Y$

[Samuelitos1]

Scusami ma non riesco proprio a capire quell'ovvio!
$C$ è denso in $Y$ se $ bar(C) =Y $.
Ora $ Y sube bar(C) $ per ipotesi, mi manca $ Y supe bar(C) $.
$ Y supe C $ ma perché contiene anche la sua chiusura?

[perplesso1]

Tu devi distinguera fra la chiusura di $C$ "in $X$" e la chiusura di $C$ "in $Y$".
La prima è $\bar C$, ma la seconda è $\bar C \cap Y = Y$ (per la definizione di topologia del sottospazio)

è più chiaro?

[Samuelitos1]

Sì molto, ora ho capito!
Grazie mille e scusa per il disturbo!

[perplesso1]

Nessun disturbo. Son contento che hai capito.