Problema geometrico sulla sfera
Ciao a tutti! Ho bisogno di un aiuto su questo problema geometrico
rispetto ad un sistema di riferimento ortonormale si considerino le rette
\(\displaystyle r: x1=1+2t; x2=2-t; x3=3+2t \)
ed \(\displaystyle s: x1=1+t; x2=2+t; x3=3-t \)
si indichino i centri delle due sfere di raggio 10 e tangenti le rette \(\displaystyle r,s \) in \(\displaystyle T=(1,2,3) \)
Il mio ragionamento era questo:
l'equazione che descrive una sfera di centro generico e raggio 10 è \(\displaystyle (x1-c1)^2 + (x2-c2)^2 +(x3-c3)^2=100\)
poi devo porla tangente ad una delle due rette e quindi sostituisco ad \(\displaystyle x1,x2,x3 \) le rispettive componenti una volta della retta \(\displaystyle r \) e la volta dopo della retta \(\displaystyle s \); pongo inoltre \(\displaystyle x1=c1 \) e \(\displaystyle x2=c2 \) e mi vado a calcolare il valore di t nei due casi (uno della retta r e l'altro della retta s); essendo di secondo grado le due equazioni mi vengono in totale quattro valori di t e li eguaglio; a questo punto due delle 4 soluzioni mi vengono incompatibili mentre le altre due mi restituiscono un valore ciascuna. questi due valori li sostituisco in una delle due equazioni iniziali della sfera e mi danno i due centri (che a me differiscono solo per una componente)
rispetto ad un sistema di riferimento ortonormale si considerino le rette
\(\displaystyle r: x1=1+2t; x2=2-t; x3=3+2t \)
ed \(\displaystyle s: x1=1+t; x2=2+t; x3=3-t \)
si indichino i centri delle due sfere di raggio 10 e tangenti le rette \(\displaystyle r,s \) in \(\displaystyle T=(1,2,3) \)
Il mio ragionamento era questo:
l'equazione che descrive una sfera di centro generico e raggio 10 è \(\displaystyle (x1-c1)^2 + (x2-c2)^2 +(x3-c3)^2=100\)
poi devo porla tangente ad una delle due rette e quindi sostituisco ad \(\displaystyle x1,x2,x3 \) le rispettive componenti una volta della retta \(\displaystyle r \) e la volta dopo della retta \(\displaystyle s \); pongo inoltre \(\displaystyle x1=c1 \) e \(\displaystyle x2=c2 \) e mi vado a calcolare il valore di t nei due casi (uno della retta r e l'altro della retta s); essendo di secondo grado le due equazioni mi vengono in totale quattro valori di t e li eguaglio; a questo punto due delle 4 soluzioni mi vengono incompatibili mentre le altre due mi restituiscono un valore ciascuna. questi due valori li sostituisco in una delle due equazioni iniziali della sfera e mi danno i due centri (che a me differiscono solo per una componente)
Risposte
Chiamato $P$ il punto di passaggio di entrambe le rette, ci permette di trovare il piano tangente alla sfera:
$<((2),(-1),(2)) , ((1),(1),(-1))> + P $ cioè $x-4y-3z=-16$
Ora tutto si riduce a trovare una sfera ( o più di una) tangente in P al piano. Sappiamo che il centro della sfera si trova sull'ortogonale al piano ed è distante 10 dal punto P. Troviamole:
$|((1),(2),(3)) - ((1+t),(2-4t),(3-3z))|= sqrt(t^2 +16t^2+9t^2)=10$
$26t^2=100$
$t=±10/sqrt(26)$
Quindi avremo le nostre due sfere:
$(x-1±10/sqrt(26))^2 + (y-2± -40/sqrt(26))^2 + (z-3± -30/sqrt(26))^2=100$
$<((2),(-1),(2)) , ((1),(1),(-1))> + P $ cioè $x-4y-3z=-16$
Ora tutto si riduce a trovare una sfera ( o più di una) tangente in P al piano. Sappiamo che il centro della sfera si trova sull'ortogonale al piano ed è distante 10 dal punto P. Troviamole:
$|((1),(2),(3)) - ((1+t),(2-4t),(3-3z))|= sqrt(t^2 +16t^2+9t^2)=10$
$26t^2=100$
$t=±10/sqrt(26)$
Quindi avremo le nostre due sfere:
$(x-1±10/sqrt(26))^2 + (y-2± -40/sqrt(26))^2 + (z-3± -30/sqrt(26))^2=100$
Ok Grazie mille!
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