Problema Geometrico, help!
Come si può calcolare l'area compresa fra una circonferenza ed una retta che la taglia in due (non passante per il centro, naturalmente) avendo noti solamente il raggio della circonferenza e la distanza fra il centro della circonferenza ed il punto medio del segmento AB che "taglia in due" la circonferenza?
Risposte
sia $O$ il centro, $r$ il raggio e $d$ la distanza tra il centro della circonferenza e il punto medio $M$ di $AB$, allora all'area di metà cerchio ( ci possiamo limitare a considerarne metà soltanto, visto che se la retta taglia dall'altra parte del centro prendiamo l'altra metà) dobbiamo sottrarre i due settori circolari delimitati dal diametro e dai 2 segmenti $OA$ e $OB$ e l'area del triangolo $AOB$, quindi:
$1/2 \pi r^2 -r^2\theta -d\sqrt{r^2-d^2}$
$\theta$ si trova come l'arcoseno di $d$
$1/2 \pi r^2 -r^2\theta -d\sqrt{r^2-d^2}$
$\theta$ si trova come l'arcoseno di $d$
"Flap":
Come si può calcolare l'area compresa fra una circonferenza ed una retta che la taglia in due (non passante per il centro, naturalmente) avendo noti solamente il raggio della circonferenza e la distanza fra il centro della circonferenza ed il punto medio del segmento AB che "taglia in due" la circonferenza?
Si chiama "segmento circolare".
"Jordano":
sia $O$ il centro, $r$ il raggio e $d$ la distanza tra il centro della circonferenza e il punto medio $M$ di $AB$, allora all'area di metà cerchio ( ci possiamo limitare a considerarne metà soltanto, visto che se la retta taglia dall'altra parte del centro prendiamo l'altra metà) dobbiamo sottrarre i due settori circolari delimitati dal diametro e dai 2 segmenti $OA$ e $OB$ e l'area del triangolo $AOB$, quindi:
$1/2 \pi r^2 -r^2\theta -d\sqrt{r^2-d^2}$
$\theta$ si trova come l'arcoseno di $d$
Quindi con $theta = arcsind ?
Grazie ad entrambi
"Jordano":
sia $O$ il centro, $r$ il raggio e $d$ la distanza tra il centro della circonferenza e il punto medio $M$ di $AB$, allora all'area di metà cerchio ( ci possiamo limitare a considerarne metà soltanto, visto che se la retta taglia dall'altra parte del centro prendiamo l'altra metà) dobbiamo sottrarre i due settori circolari delimitati dal diametro e dai 2 segmenti $OA$ e $OB$ e l'area del triangolo $AOB$, quindi:
$1/2 \pi r^2 -r^2\theta -d\sqrt{r^2-d^2}$
$\theta$ si trova come l'arcoseno di $d$
Ecco, ho un dubbio.
Partendo dal presupposto che per calcolaqre l'area dei due settori circolari si può procedere vedendoli come un unico settore circolare di angolo $theta$ con $theta = 2alpha$, perchè l'area dei settori non è uguale a $pi*r^2*theta/360$ ?
l'angolo va in radianti. quindi viene
$(\pi r^2 2\theta)/(2\pi)$ semplificando rimane appunto $\theta r^2$
$(\pi r^2 2\theta)/(2\pi)$ semplificando rimane appunto $\theta r^2$
"Flap":
[quote="Jordano"]sia $O$ il centro, $r$ il raggio e $d$ la distanza tra il centro della circonferenza e il punto medio $M$ di $AB$, allora all'area di metà cerchio ( ci possiamo limitare a considerarne metà soltanto, visto che se la retta taglia dall'altra parte del centro prendiamo l'altra metà) dobbiamo sottrarre i due settori circolari delimitati dal diametro e dai 2 segmenti $OA$ e $OB$ e l'area del triangolo $AOB$, quindi:
$1/2 \pi r^2 -r^2\theta -d\sqrt{r^2-d^2}$
$\theta$ si trova come l'arcoseno di $d$
Quindi con $theta = arcsind ?
[/quote]
Chiedo scusa per l'ignoranza. La verità è che ho pesanti lacune in matematica ed a lavoro mi sono trovato di fronte ad una situazione che matematicamente si descrive come ho fatto nel mio post iniziale.
Ora, ho seguito la spiegazione di Jordan e l'ho compresa, se non per un passaggio, quello in cui si ricava $theta$.
$arcsind = theta$
Informandomi ho capito la validità dell'equazione, però arrivato all'atto pratico di calcolare $theta$ mi ritrovo di fronte a due valori. Credo che questa mia confusione sia dovuto alla mia ignoranza su cosa rappresenti materialmente la funzione arcoseno.
1) Quale valore di $theta$ dovrei prendere per proseguire nel calcolo dell'area dei due settori circolari?
2) Mi spiega qualcuno di buona volontà cosa sia graficamente l'arcoseno?
Ora, ho seguito la spiegazione di Jordan e l'ho compresa, se non per un passaggio, quello in cui si ricava $theta$.
$arcsind = theta$
Informandomi ho capito la validità dell'equazione, però arrivato all'atto pratico di calcolare $theta$ mi ritrovo di fronte a due valori. Credo che questa mia confusione sia dovuto alla mia ignoranza su cosa rappresenti materialmente la funzione arcoseno.
1) Quale valore di $theta$ dovrei prendere per proseguire nel calcolo dell'area dei due settori circolari?
2) Mi spiega qualcuno di buona volontà cosa sia graficamente l'arcoseno?
Scusate l'intromissione, ma non sarebbe molto più semplice calcolare l'area del settore circolare OAB e successivamente sottrarre l'area del triangolo OAB? Inoltre mi permetto di far notare che $arcsin d$ potrebbe non essere definito (cosa vieta che sia $d>1$?). Piuttosto bisognerà porre $\theta=B \hat OM=arcsin(d/r)$, mi pare...
Seguendo il mio metodo l'area del settore circolare viene $A=(\theta r^2)/2$, mentre l'area del triangolo, per il teorema della corda, sarà $B=rdsin \theta$, quindi l'area della lunetta (credo che il nome tecnico della regione considerata sia questo) diventerà $L=A-B=(\theta r^2)/2-rdsin \theta$.
Seguendo il mio metodo l'area del settore circolare viene $A=(\theta r^2)/2$, mentre l'area del triangolo, per il teorema della corda, sarà $B=rdsin \theta$, quindi l'area della lunetta (credo che il nome tecnico della regione considerata sia questo) diventerà $L=A-B=(\theta r^2)/2-rdsin \theta$.
La funzione arcoseno è difficile da "visualizzare"... Essa è l'inversa della funzione seno e quindi restituisce un angolo compreso tra $[-pi/2;pi/2]$... Non sto a spiegare il perché di questo, tanto più che non è particolarmente complesso... Se avrai qualche perplessità in proposito, tuttavia, chiedi pure... Se sarò capace risponderò...
Per quanto riguarda la scelta di $\theta$ è un problema che potrai risolvere solo caso per caso... si presenterà la volta che avrai bisogno di un angolo acuto, altre in cui avrai la necessità di un angolo ottuso... Ricorda comunque che i due valori sono sempre complementari...
Non so quanto posso aver chiarito i tuoi dubbi... Non esitare a chiedere ulteriori delucidazioni!
Per quanto riguarda la scelta di $\theta$ è un problema che potrai risolvere solo caso per caso... si presenterà la volta che avrai bisogno di un angolo acuto, altre in cui avrai la necessità di un angolo ottuso... Ricorda comunque che i due valori sono sempre complementari...
Non so quanto posso aver chiarito i tuoi dubbi... Non esitare a chiedere ulteriori delucidazioni!
Cosa vuol dire $arcsen x = d $ ?
Vuol dire che $ x $ è l'angolo il cui seno vale $ d $ ; $ arcsen $ è la funzione inversa della funzione $sen$.
Esempio
$arcsenx = 1/2 $ ; qual è l'angolo (compreso tra -90° e +90 ° ) il cui seno vale $1/2 $ ? è l'angolo di 30 ° ( espresso in radianti è $pi/6$).
$arcsenx = sqrt(2)/2 ; x= ??? $ prova
Vuol dire che $ x $ è l'angolo il cui seno vale $ d $ ; $ arcsen $ è la funzione inversa della funzione $sen$.
Esempio
$arcsenx = 1/2 $ ; qual è l'angolo (compreso tra -90° e +90 ° ) il cui seno vale $1/2 $ ? è l'angolo di 30 ° ( espresso in radianti è $pi/6$).
$arcsenx = sqrt(2)/2 ; x= ??? $ prova
E' un arco notevole, me lo ricordo...
$x = 45$ °
Il problema è: come dovrei fare per calcolarlo, se volessi farlo? Come si procede nel calcolo dell'arcoseno qualora non fosse un arco notevole?
Ad ogni modo, quindi io ho scritto una castoneria nella pagina precedente:
Non è $arcsentheta = d$
e non $arcsend = theta$
E' corretto?
$x = 45$ °
Il problema è: come dovrei fare per calcolarlo, se volessi farlo? Come si procede nel calcolo dell'arcoseno qualora non fosse un arco notevole?
Ad ogni modo, quindi io ho scritto una castoneria nella pagina precedente:
Non è $arcsentheta = d$
e non $arcsend = theta$
E' corretto?
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