Problema geometria retta e fascio di piani

[Hyper71]

Ragazzi salve a tutti. Mi trovo qui per esporvi questo problema che non riesco a capire come risolvere. Il problema è il seguente:

Sia data la retta
2x + y + z − 1 = 0
x + 2z = 0

(a) Scrivere l’equazione del fascio di piani per r.
(b) Determinare il piano passante per r e per il punto A = (2, 1, 0).
(c) Determinare il piano passante per r parallelo alla retta

x − y − z − 2 = 0
x + y + 2z − 1 = 0

grazie per le risposte

[orazioster]

Un piano di un facsio, proprio, è
dato dalla combinazione lineare di due piani qualsiasi del fascio.
Li hai già: i due che definiscono la retta.

Fascio: $\lambda p_1 +\mu p_2$.

Oppure, per $\kappa=\mu/\lambda$, per $\lambda !=0$, puoi
indicare il fascio come $p_1 +\kappap_2$, ed è
l'insieme di tutti i piani, tranne...quale? Mi fecero
questa domanda all'esame di Geometria, ed io risposi: "Ci devo pensare" (giusto!). E così ci pensai.

[Tio1]

a) l'equazione del fascio è:
$λ (2x+y+z-1) + μ (x+2z) = 0$
che diventa:
$(2λ+μ)x + λ y + (λ+2μ)z - λ = 0$

b)
prendi l'equazione del fascio appena scritta
e sostituisci x, y e z con le coordinate del punto A
quindi diventa:
$4 λ + 2 μ + λ - λ= 0$
ovvero $4 λ = -2 μ$
se λ vale -2, μ vale 4

sostituisci λ e μ nell'equazione del fascio:
$λ (2x+y+z-1) + μ (x+2z) = 0$
e ottieni:
$-4x - 2y -2z +2 + 4x +8z =0$
$-2y +6z +2 = 0$
che è l'equazione del piano

c)
ricordiamo che l'equazione del fascio è questa:
$(2λ+μ)x + λ y + (λ+2μ)z - λ = 0$
perciò le sue direzioni sono $n(2λ+μ, λ , λ+2μ) = 0$

Ti servono anche le direzioni della seconda retta, che trovi dalla matrice:
i j k
1 -1 -2
1 1 2
e ottieni:
(0, -4, 2)

poichè il piano e la retta sono paralleli, la normale del piano deve essere ortogonale alla direzione della retta.
perciò fai n•s
cioè $0(2λ+μ) - 4λ + 2(λ+2μ)$
che diventa 2λ=4μ
se λ = 4 , μ = 2

sostituisci nell'equazione del fascio:
$λ (2x+y+z-1) + μ (x+2z) = 0$
$8x + 4y + 4z - 4 + 2x + 4z = 0$
$10x + 4y + 8z -4 = 0$
che è l'equazione cercata. Se ho fatto tutto giusto almeno...

[Hyper71]

Tio sei molto gentile ma non capisco l'equazione del fascio che mi hai scritto, perchè ci sono le parentesi quadre con il punto di domanda che me lo impediscono

[dissonance]

Ti manca qualche font e non visualizzi bene il MathML. Che browser usi? Segui le istruzioni che trovi qui: https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html

[Tio1]

Sono le lettera lambda e mi che non vengono visualizzate.. riscrivo tutto qui sostituendo con L e M:

a) l'equazione del fascio è:
$L (2x+y+z-1) + M (x+2z) = 0$
che diventa:
$(2L+M)x + L y + (L+2M)z - L = 0$

b)
prendi l'equazione del fascio appena scritta
e sostituisci x, y e z con le coordinate del punto A
quindi diventa:
$4 L + 2 M + L - L= 0$
ovvero $4 L = -2 M$
se L vale -2, M vale 4

sostituisci L e M nell'equazione del fascio:
$L (2x+y+z-1) + M (x+2z) = 0$
e ottieni:
$-4x - 2y -2z +2 + 4x +8z =0$
$-2y +6z +2 = 0$
che è l'equazione del piano

c)
ricordiamo che l'equazione del fascio è questa:
$(2L+M)x + L y + (L+2M)z - L = 0$
perciò le sue direzioni sono $n(2L+M, L , L+2M) = 0$

Ti servono anche le direzioni della seconda retta, che trovi dalla matrice:
i j k
1 -1 -2
1 1 2
e ottieni:
(0, -4, 2)

poichè il piano e la retta sono paralleli, la normale del piano deve essere ortogonale alla direzione della retta.
perciò fai n•s
cioè $0(2L+M) - 4L + 2(L+2M)$
che diventa 2L=4M
se L = 4 , M = 2

sostituisci nell'equazione del fascio:
$L (2x+y+z-1) + M (x+2z) = 0$
$8x + 4y + 4z - 4 + 2x + 4z = 0$
$10x + 4y + 8z -4 = 0$
che è l'equazione cercata. Se ho fatto tutto giusto almeno...

[Hyper71]

Grazie mille tio davvero molto gentile