Problema geometria nello spazio. Aiuto!
Innanzitutto salve al foro!
Come primo quesito pongo:
La retta S passante per A=(1;-1;0) incidente la retta R: (x+y=2 ; 2x-3y-z=-1) e parallela al piano T: x-2y+3z=11.....come la trovo?? Cioé come risalgo alla formula?
Io ho fatto e ragionato così:
Per trovare l'equazione parametrica di S ho bisogno di l,m,n. Quindi di tre condizioni da immettere in un sistema lineare. Ho quindi impostato:
Retta S passante per A---> S: (x;y;z) = (1;-1;0)+λ(l;m;n) oppure S: (ax+by+cz=a-b; a'x+b'y+c'z=a'-b')
S e R sono sghembe se 2n+10l=0 (da sviluppo del det della matrice di verifica della complanarità) Quindi deve essere 2n+10l≠0.
Considero che se deve essere parallela a T dovrà essere --> l-2m+3n=0 cioé il vettore direttore di S è perpendicolare alla normale del piano T (PRIMA CONDIZIONE).
Poi costruisco la matrice dei coefficienti B e la matrice completa B|C con anche i termini noti, per valutarne i rispettivi ranghi (ovviamente cerco rg(B) = rg(B|C) per verificare l'incidenza delle due rette).
Il calcolo di detB è però un gran casino! Mi viene b'-a'-5c'≠0, per non parlare di detB|C!
Non so più che pesci pigliare e mi mancano ancora due condizioni! Help!!
ZeroG
Come primo quesito pongo:
La retta S passante per A=(1;-1;0) incidente la retta R: (x+y=2 ; 2x-3y-z=-1) e parallela al piano T: x-2y+3z=11.....come la trovo?? Cioé come risalgo alla formula?
Io ho fatto e ragionato così:
Per trovare l'equazione parametrica di S ho bisogno di l,m,n. Quindi di tre condizioni da immettere in un sistema lineare. Ho quindi impostato:
Retta S passante per A---> S: (x;y;z) = (1;-1;0)+λ(l;m;n) oppure S: (ax+by+cz=a-b; a'x+b'y+c'z=a'-b')
S e R sono sghembe se 2n+10l=0 (da sviluppo del det della matrice di verifica della complanarità) Quindi deve essere 2n+10l≠0.
Considero che se deve essere parallela a T dovrà essere --> l-2m+3n=0 cioé il vettore direttore di S è perpendicolare alla normale del piano T (PRIMA CONDIZIONE).
Poi costruisco la matrice dei coefficienti B e la matrice completa B|C con anche i termini noti, per valutarne i rispettivi ranghi (ovviamente cerco rg(B) = rg(B|C) per verificare l'incidenza delle due rette).
Il calcolo di detB è però un gran casino! Mi viene b'-a'-5c'≠0, per non parlare di detB|C!
Non so più che pesci pigliare e mi mancano ancora due condizioni! Help!!
ZeroG
Risposte
Contrariamente a quanto hai fatto io partirei scrivendo l'equazione di un piano parallelo a quello dato
$ x-2y+3z=11$
passante per il punto dato
$A(1,-1,0)$
la cosa risulta seplice se si pensa che i tre coefficienti l,m,n sono uguali per i due piani cambia solo il termine noto. Calcoliamo quindi il termine noto dicendo che A appartiene al nuovo piano e quindi le sue coordinate dovranno soddisfarne l'equazione. Inserendo le coordinate i si ottiene
$c=1+2+0$
ne segue
$c=3$
il nostro piano parallelo è quindi
$x-2y+3z=3$
ora il piano trovato incontrerà la retta data R in un punto se e solo se il sistema contenente l'equazione del piano stesso e della retta R data avrà determinante non nullo
Scritto il sistema e risolto si ottengono le coordinate del punto intersezione
$B(11/9,7/9,10/9)$
Ora conosciamo due punti della nostra retta S incognita e quindi possiamo scrivere la sua equazione. Dai miei calcoli e dopo un po di semplificazioni la retta S risulta
$(8x-y=9;5y-8z=-5)$.
Facile verificare che i due punti A e B appartengono alla retta risultante e che la stessa appartiene al piano parallelo infatti il sistema formato dall'equazione del piano parallelo e da quello della retta trovata ha determinante nullo c.v.d.
Ho corretto un pochino le formule ma non so se sono riuscito nell'intento comunque anche se non vdi le formule s segui il ragionamento probabilmente arrivi alla soluzione. Il problema delle formule è che ho scaricato il file che permette di visualizzarle ma per qualche m,otivo non riesco a installarlo correttamente chiedo scusa. Comunque non ci sono altre formule oltre che quelle visualizzate ho lasciato a te l'impostazione e l soluzione dei sistemi e la semplificazione della retta finale.
$ x-2y+3z=11$
passante per il punto dato
$A(1,-1,0)$
la cosa risulta seplice se si pensa che i tre coefficienti l,m,n sono uguali per i due piani cambia solo il termine noto. Calcoliamo quindi il termine noto dicendo che A appartiene al nuovo piano e quindi le sue coordinate dovranno soddisfarne l'equazione. Inserendo le coordinate i si ottiene
$c=1+2+0$
ne segue
$c=3$
il nostro piano parallelo è quindi
$x-2y+3z=3$
ora il piano trovato incontrerà la retta data R in un punto se e solo se il sistema contenente l'equazione del piano stesso e della retta R data avrà determinante non nullo
Scritto il sistema e risolto si ottengono le coordinate del punto intersezione
$B(11/9,7/9,10/9)$
Ora conosciamo due punti della nostra retta S incognita e quindi possiamo scrivere la sua equazione. Dai miei calcoli e dopo un po di semplificazioni la retta S risulta
$(8x-y=9;5y-8z=-5)$.
Facile verificare che i due punti A e B appartengono alla retta risultante e che la stessa appartiene al piano parallelo infatti il sistema formato dall'equazione del piano parallelo e da quello della retta trovata ha determinante nullo c.v.d.
Ho corretto un pochino le formule ma non so se sono riuscito nell'intento comunque anche se non vdi le formule s segui il ragionamento probabilmente arrivi alla soluzione. Il problema delle formule è che ho scaricato il file che permette di visualizzarle ma per qualche m,otivo non riesco a installarlo correttamente chiedo scusa. Comunque non ci sono altre formule oltre che quelle visualizzate ho lasciato a te l'impostazione e l soluzione dei sistemi e la semplificazione della retta finale.
Mi sa che hai avuto qualche problema di scrittura 
Editeresti per favore?
Grazie!
Editeresti per favore?
Grazie!
Grazie per i suggerimenti, ma l'equazione della retta che mi hai fornito non è esatta, almeno dai miei conti.
Giustamente piano e retta si incontrano in B=(11/9;7/9;10/9), e la retta incognita passa sia per B sia per A, ma da quello che ricavo io la sua equazione è:
s:(5x-z-5=0; 5y-8z+5=0)
la quale soddisfa i requisiti di complanarità con il vettore direttore di r e la differenza tra i due punti di passaggio arbitrari delle due rette in esame.
Inoltre soddisfa le condizioni di non perpendicolarità e di non parallelismo con r, essendone tuttavia complanare e quindi per esclusione incidente.
Torna anche a te così? (per inciso anche l'equazione della tua retta soddisfaceva tutti questi parametri )
Giustamente piano e retta si incontrano in B=(11/9;7/9;10/9), e la retta incognita passa sia per B sia per A, ma da quello che ricavo io la sua equazione è:
s:(5x-z-5=0; 5y-8z+5=0)
la quale soddisfa i requisiti di complanarità con il vettore direttore di r e la differenza tra i due punti di passaggio arbitrari delle due rette in esame.
Inoltre soddisfa le condizioni di non perpendicolarità e di non parallelismo con r, essendone tuttavia complanare e quindi per esclusione incidente.
Torna anche a te così? (per inciso anche l'equazione della tua retta soddisfaceva tutti questi parametri
)
ho fatto alcune verifiche ed è probabile che abbia sbagliato qualche calcolo nella semplificazione finale della retta cumunque il tuo risultato mi sembra corretto. ciao 
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