Problema geometria nello spazio

[orphen86]

Trovare le equazioni delle rette passanti per l'origine, che appartengono al piano $\alpha : y=x+z$ e formano un angolo di $\pi/4$ con l'asse $z$ .
Io ho fatto diversi ragionamenti senza una conclusione che penso sia valida. Intanto ho determinato la forma parametrica del piano,dopo aver posto $x=s$ e $y=t$ $\{(x=0 +1s+0t),(y=0+0s+1t),(z=0-1s+1t):}$ ho concluso quindi che un punto del piano è l'origine $O(0,0,0)$ e la giacitura sono i vettori $\vec u (1,0,-1)$ e $\vec v (0,1,1)$ .Siccome una retta è parallela ad un piano se la sua direzione appartiene alla giacitura ho pensato che le rette appartenenti al piano $\alpha$ e passanti per l'origine hanno direzione $\vec r (\lambda,0,-\lambda)$ però facendo tutto questo ragionamento non concludo niente...qualche consiglio?

[franced]

"orphen86":Trovare le equazioni delle rette passanti per l'origine, che appartengono al piano $\alpha : y=x+z$ e formano un angolo di $\pi/4$ con l'asse $z$ .

Io direi di ragionare in questo modo:
il punto generico $((x),(y),(z))$ deve avere come condizione iniziale

$y=x+z$

perché sta sul piano;

inoltre, visto che deve formare un angolo di 45 gradi con l'asse z,
deve risultare:

$cos(\pi/4) = (((x),(x+z),(z)) \cdot ((0),(0),(1)))/(\sqrt(x^2+(x+z)^2+z^2) \cdot 1) = \sqrt(2)/2$

ma non è la strada più breve...


Allora possiamo ragionare così:

queste rette devono stare per forza sul cono di equazione

$z^2=x^2+y^2$ (l'angolo è infatti 45 gradi)

quindi:

$z^2 = x^2+(x+z)^2$

da cui:

$z^2 = 2x^2 + z^2 + 2xz$

$x \cdot (x + z) = 0$

Le due rette sono:

$((x),(y),(z)) = ((0),(\lambda),(\lambda))$

$((x),(y),(z)) = ((-lambda),(0),(lambda))$

[orphen86]

Premetto che non riesco a lavorare molto nello spazio...non riesco ad entrare nell'ottica di utilizzare i piani invece delle rette...

Io direi di ragionare in questo modo:
il punto generico $((x),(y),(z))$ deve avere come condizione iniziale

$y=x+z$

perché sta sul piano;

inoltre, visto che deve formare un angolo di 45 gradi con l'asse z,
deve risultare:

$cos(\pi/4) = (((x),(x+z),(z)) \cdot ((0),(0),(1)))/(\sqrt(x^2+(x+z)^2+z^2) \cdot 1) = \sqrt(2)/2$

ma non è la strada più breve...

non riesco a capire bene la condizione iniziale e poi perchè diventa $((x),(x+z),(z))$ si ok ho che il piano è $y=x+z$ però perchè posso usare questa ugualianza per il punto?

Allora possiamo ragionare così:

queste rette devono stare per forza sul cono di equazione

$z^2=x^2+y^2$ (l'angolo è infatti 45 gradi)

quindi:

$z^2 = x^2+(x+z)^2$

da cui:

$z^2 = 2x^2 + z^2 + 2xz$

$x \cdot (x + z) = 0$

Le due rette sono:

$((x),(y),(z)) = ((0),(\lambda),(\lambda))$

$((x),(y),(z)) = ((-lambda),(0),(lambda))$

questo ragionamento lo capisco ancora meno...

[franced]

In pratica ha due condizioni:

una ti dice che i tuoi punti stanno su un piano

l'altra ti dice che i tuoi punti fanno parte del cono
di equazione $z^2=x^2+y^2$

Poiché devono valere entrambe, fai il sistema.