Problema geometria differenziale

[mimi8888]

Si determini la curva cartesiana intersezione tra la superficie cartesiana x*y-z=0 ed il piano cartesiano x+y-z=1
si parametrizzi tale curva calcolandone la curvatura
La superficie è una nota quadrica, quale?


Io ho provato a fare cosi:
per l'intersezione ho fatto il sistema tra superficie e piano, la superficie è un paraboide iperbolico, non riesco a parametrizzare la curva, mi potreste dire come si fa?
Non ho scritto in MathJax perchè non so usarlo, quindi scusatemi anticipatamente.

[ciampax]

"mimi8888":Si determini la curva cartesiana intersezione tra la superficie cartesiana x*y-z=0 ed il piano cartesiano x+y-z=1
si parametrizzi tale curva calcolandone la curvatura
La superficie è una nota quadrica, quale?


Io ho provato a fare cosi:
per l'intersezione ho fatto il sistema tra superficie e piano, la superficie è un paraboide iperbolico, non riesco a parametrizzare la curva, mi potreste dire come si fa?
Non ho scritto in MathJax perchè non so usarlo, quindi scusatemi anticipatamente.

Guarda che deve venire una curva! Un paraboloide è ancora una superficie. E fare l'intersezione in quel modo non ti aiuta molto. Quello che puoi osservare, preliminarmente, è che se consideri le linee di livello per le due superfici date, e quindi se poni $z=k\in RR$, otterrai le due equazioni delle curve di livello

$xy=k$ (iperbole equilatera) e $x+y=1+k$ (retta).

Pertanto, su ogni piano $z=k$ avrai le intersezioni tra le due curve che si ottengono come soluzioni del sistema

$x+y=1+k,\ xy=k$

Per risolvere tale sistema, puoi osservare che $x,y$ risultano le soluzioni della seguente equazione di secondo grado $t^2-(1+k)t+k=0$ la quale ha come soluzioni $t_1=1,\ t_2=k$.

I punti di intersezione con $z=k$ fissato sono allora

$(1,k,k)$ e $(k,1,k)$ che rappresentano tutti i punti possibili della curva che cerchi. Che cosa ti sembrano?

[mimi8888]

forse nel testo mi sono espressa male, in pratica il 3° punto mi chiede la superficie che quadrica è,ed io ho constatato essere un paraboloide iperbolico.
per trovare le la parametrizzazione avevo messo x=u , y=v e z=u*v e quindi x+y-x*y=1 mi diventa u+v-u*v=1 , poi u*(1-v)=1-v -> u=(1-v)/(1-v)=1 per cui u=1
ed ho che per u=1 (1,v,v) mentre per v=1 (u,1,u)

[ciampax]

Sì, è equivalente.

[mimi8888]

grazie gentilissimo!