Problema geometria dello spazio2
Ciao a tutti!
Sto affrontando un problema di geometria dello spazio in cui mi viene dato un punto $P=P(1,1,1)$ e due rette che sono
$r_1: \{(x-y+1=0),(z=0):}$ e $r_2:\{(x-y+2=0),(x+z=0):}$
Mi viene chiesto di scrivere l'equazione cartesiana della retta $r$ passante per $P$ e incidente le rette $r_1$ ed $r_2$
Non so io mi sono scritto le equazioni della retta passante per $P$ ed $r_1$ e poi quella per $P$ ed $r_2$
Solo che non so proprio come fare per trovare l'equazione di un'unica retta che passa per tutti e 2 gli elementi
Sto affrontando un problema di geometria dello spazio in cui mi viene dato un punto $P=P(1,1,1)$ e due rette che sono
$r_1: \{(x-y+1=0),(z=0):}$ e $r_2:\{(x-y+2=0),(x+z=0):}$
Mi viene chiesto di scrivere l'equazione cartesiana della retta $r$ passante per $P$ e incidente le rette $r_1$ ed $r_2$
Non so io mi sono scritto le equazioni della retta passante per $P$ ed $r_1$ e poi quella per $P$ ed $r_2$
Solo che non so proprio come fare per trovare l'equazione di un'unica retta che passa per tutti e 2 gli elementi
Risposte
Se la retta $r$ incide tutte e due le rette, deve trovarsi sul piano formato da queste ultime, quindi....
Ok una condizione è sicuramente che le rette sono complanari però l'altra condizione è che la retta $r$ deve contenere il punto $P$ e incidere le rette....
penso che se le rette sono complanari non vuol dire per forza che si intersechino....possono anche essere parallele!No?
penso che se le rette sono complanari non vuol dire per forza che si intersechino....possono anche essere parallele!No?
Esatto... ergo ti serve una retta che sta nel piano contenente le due rette date e passa per $P$... quindi hai bisogno del fascio di rette passante per $P$ e appartenente a tale piano!
mmm....capito....magari domani provo a ragionarci un po' su che ora sono fuso! 
grazie dell'aiuto!
grazie dell'aiuto!
"Robbyx":
un punto $P=P(1,1,1)$ e due rette che sono
$r_1: \{(x-y+1=0),(z=0):}$ e $r_2:\{(x-y+2=0),(x+z=0):}$
Mi viene chiesto di scrivere l'equazione cartesiana della retta $r$ passante per $P$ e incidente le rette $r_1$ ed $r_2$
Tanto per iniziare scrivi il piano $\pi_1$ contenente la retta $r_1$ e il punto $P$:
trovi che il piano ha equazione cartesiana
$\pi_1 :$ $x - y - z + 1 = 0$ .
Ora puoi fare la stessa cosa con la retta $r_2$ e $P$, trovando il piano $\pi_2$.
Infine intersechi i due piani $\pi_1$ e $\pi_2$, trovando la retta voluta.
"ciampax":
Se la retta $r$ incide tutte e due le rette, deve trovarsi sul piano formato da queste ultime, quindi....
Attenzione:
date due rette sghembe, ci sono infinite rette che incidono entrambe!!
Basta prendere un punto $A$ sulla prima, un punto $B$ sulla seconda e considerare
la retta passante per $A$ e $B$.
La retta richiesta, ovvero quella che incide $r_1$ e $r_2$ e passa per il punto $P$
ha la seguente equazione parametrica:
$((x),(y),(z)) = ((1),(2),(0)) + t ((0),(1),(-1))$
e la seguente equazione cartesiana:
$x = 1$ ; $y + z = 2$ .
ha la seguente equazione parametrica:
$((x),(y),(z)) = ((1),(2),(0)) + t ((0),(1),(-1))$
e la seguente equazione cartesiana:
$x = 1$ ; $y + z = 2$ .
Mi devi scusare solo che non so fare neanche queste cose semplici....nei miei appunti esercizi in cui ci sono queste cose non ne trovo e nel libro neanche...sono cose che in teoria dobbiamo arrivarci a intuito...potresti spiegarmi per favore come trovi il piano contentente $P$ e la retta $r_1$?
Non voglio assolutamente la pappa in bocca ma già ci ho perso un giorno per questo esercizio guardando ovunque...appunti formulari internet...e per l'esercizio prima che ho fatto quasi 3 giorni...
Non voglio assolutamente la pappa in bocca ma già ci ho perso un giorno per questo esercizio guardando ovunque...appunti formulari internet...e per l'esercizio prima che ho fatto quasi 3 giorni...
"Robbyx":
...potresti spiegarmi per favore come trovi il piano contentente $P$ e la retta $r_1$?
Basta scrivere l'equazione del fascio di piani contenenti la retta $r_1$ e imporre successivamente il passaggio
per $P$.
Ahhh ho capito!! Quindi dire che un piano contiene una retta equivale a dire che la retta è il centro di un fasio di piani!!
Grazie mi hai illuminato!
E quindi se avessi un piano e mi chiedono di dimostrare che una data retta appartiene a quel piano dovrei scrivermi l'equazione del fascio di piani per quella retta e trovarmi i coefficienti che moltiplicano i piani che formano la retta in modo da ottenere il piano dato?
Grazie mi hai illuminato!
E quindi se avessi un piano e mi chiedono di dimostrare che una data retta appartiene a quel piano dovrei scrivermi l'equazione del fascio di piani per quella retta e trovarmi i coefficienti che moltiplicano i piani che formano la retta in modo da ottenere il piano dato?
"Robbyx":
E quindi se avessi un piano e mi chiedono di dimostrare che una data retta appartiene a quel piano ...
Se vuoi dimostrare che una data retta appartiene ad un dato piano, basta dimostrare che due punti
qualsiasi della retta stanno sul piano.
Ah ok perfetto! Ma invece ritornando all'esercizio se le rette $r_1$ ed $r_2$ oltre che stare su piani passanti per $P$ diversi sono parallele fra loro l'intersezione tra $pi_1$ e $pi_2$ non può dar luogo a una retta parallela ad $r_1$ ed $r_2$ e che quindi non le incida? cioè in teoria basta quello che abbiamo detto o ci vuole un'altra condizione perchè non si verifichi questa eventualità?
"franced":
[quote="ciampax"]Se la retta $r$ incide tutte e due le rette, deve trovarsi sul piano formato da queste ultime, quindi....
Attenzione:
date due rette sghembe, ci sono infinite rette che incidono entrambe!!
Basta prendere un punto $A$ sulla prima, un punto $B$ sulla seconda e considerare
la retta passante per $A$ e $B$.[/quote]
Io lo so benissimo! Ma lo sa anche lui?
Nel tuo caso particolare si trova una retta che è incidente alle due rette date e passante per $P$.
In ogni caso, se una retta con quelle proprietà esiste, deve stare necessariamente su entrambi i piani.
In ogni caso, se una retta con quelle proprietà esiste, deve stare necessariamente su entrambi i piani.
Può accadere che i due piani $\pi_1$ e $\pi_2$ si intersecano ma la loro retta intersezione non incide una delle
due rette.
due rette.
Appunto è questo quello che mi lascia anche perplesso! Ho provato proprio a farlo con due fogli di carta...cioè per ottenere questa fantomatica retta $r$ dovremmo considerare un piano che contiene tutti e 3 gli elementi proprio come diceva ciampax! Ora il procedimento che mi hai detto di fare tu con i due piani $pi_1$ e $pi_2$ verosimilmente è esatto, infatti nelle soluzioni dà la retta cercata come intersezione proprio di questi due....solo che non convince per niente...la retta che ottengo facendo così', in teoria, potrebbe o intersecare solo una fra $r_1$ ed $r_2$ o addirittura nessuna.....che confusioneeee 
"Robbyx":
Ah ok perfetto! Ma invece ritornando all'esercizio se le rette $r_1$ ed $r_2$ sono parallele fra loro ...
Se le due rette $r_1$ e $r_2$ sono parallele allora esiste un piano $\alpha$ che le contiene;
se il punto $P$ sta sul piano $\alpha$, allora esistono infinite rette con le proprietà volute, altrimenti
non ce ne sono.
Lascia stare per un momento i casi particolari.
Segui questo ragionamento alternativo:
1) prendi il piano $\pi_1$ contenente $r_1$ e il punto $P$;
ottieni il piano $\pi_1 : x - y - z + 1 = 0$ ;
2) considera l'intersezione $\pi_1$ con la retta $r_2$:
ottieni il punto $Q = (1,3,-1)$ ;
3) scrivi l'equazione della retta passante per $P$ e per $Q$ ;
4) verifica che la retta incide $r_1$ (è ovvio che incide anche $r_2$...)
Il quarto punto è importante perché potrebbe capitare di ottenere una retta parallela
a $r_1$.
Segui questo ragionamento alternativo:
1) prendi il piano $\pi_1$ contenente $r_1$ e il punto $P$;
ottieni il piano $\pi_1 : x - y - z + 1 = 0$ ;
2) considera l'intersezione $\pi_1$ con la retta $r_2$:
ottieni il punto $Q = (1,3,-1)$ ;
3) scrivi l'equazione della retta passante per $P$ e per $Q$ ;
4) verifica che la retta incide $r_1$ (è ovvio che incide anche $r_2$...)
Il quarto punto è importante perché potrebbe capitare di ottenere una retta parallela
a $r_1$.
Ahhh ok!! Sisi con questo ragionamento mi trovo molto meglio credo proprio di avere capito! Ora penso di potere dire di avere le idee chiare su questo esercizio!
Ti ringrazio infinitamente!
Vorrei solo chiederti un consiglio...per affrontare i problemi di geometria dello spazio c'è bisogno di avere un'idea visiva della situazione...siccome la cosa non è per niente semplice, volevo chiederti tu come ti muovi, o altrimenti se esiste qualche programma nel quale scrivi equazioni di piani rette ecc nello spazio e te le rappresenta...
Ti ringrazio infinitamente!
Vorrei solo chiederti un consiglio...per affrontare i problemi di geometria dello spazio c'è bisogno di avere un'idea visiva della situazione...siccome la cosa non è per niente semplice, volevo chiederti tu come ti muovi, o altrimenti se esiste qualche programma nel quale scrivi equazioni di piani rette ecc nello spazio e te le rappresenta...
"Robbyx":
Ahhh ok!! Sisi con questo ragionamento mi trovo molto meglio credo proprio di avere capito! Ora penso di potere dire di avere le idee chiare su questo esercizio!
Ti ringrazio infinitamente!
Vorrei solo chiederti un consiglio...per affrontare i problemi di geometria dello spazio c'è bisogno di avere un'idea visiva della situazione...siccome la cosa non è per niente semplice, volevo chiederti tu come ti muovi, o altrimenti se esiste qualche programma nel quale scrivi equazioni di piani rette ecc nello spazio e te le rappresenta...
Bè, non è facile insegnare a vedere gli oggetti nello spazio.
Tenendo le esercitazioni per un corso di geometria e algebra lineare all'università (ingegneria meccanica a pisa),
ho notato che, all'inizio, gli studenti incontrano molta difficoltà a vedere piani, rette, sfere, ecc.
Ci vuole molto esercizio, secondo me.
Se vuoi sul mio sito ci sono vari esercizi che, forse, ti possono essere utili in questo senso.
Ciao.
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