PROBLEMA ESERCIZIO OMOMORFISMI

[balista1]

Dato f: R^3 ---> R^3 definito da :
f(e1)=4e1 + e2
f(e2)= -e1 + 2e2
f(e3)=2e3

1. Esiste un'applicazione lineare g: R^3 ---> R^3

g(e1)=( 0 1 2) g(e2) =( 1 0 1 ) g(e1 + e2)=( 1 0 0)


Se g esiste è unica?


2. Esiste un endomorfismo g' di R^3

g(e1)= (0 1 2) g(e2)= (1 0 1) g(e1+e2) = (1 1 3)


se g' esiste è unico?

Non riesco proprio a capire cosa devo fare

[renatino1]

Risulta :
1)$g(e_1+e_2)=g(e_1)+g(e_2)=(0,1,2)+(1,0,1)=(1,1.3)\ne (1,0,0)$
Pertanto g non esiste come applicazione lineare

2) $g'(e_1+e_2)=g'(e_1)+g(e_2)=(0,1,2)+(1,0,1)=(1,1.3)$
Pertanto g' esiste come applicazione lineare ma non é unica in quanto manca un dato. Per assicurarne l'unicità
si potrebbe completare l'esercizio ponendo ad esempio: $g'(0,0,1)= (0,0,1)$
Naturalmente la scelta di $g'(0,0,1) non è univoca e questo rende l'esercizio indeterminato.
P.S. Non capisco a che cosa serva la prima parte dell'esercizio dove compare la f...A meno che non si ponga la medesima condizione posta per g e g'. In tal caso la risposta è affermativa: f esiste ed è unica.

[balista1]

Grazie mille.... In effetti c'era un'altra domanda che chiedeva se f... era diagonalizzabile e calcolare gli autovalori e autovettori. Dal momento che nn avevo capito come si faceva il punto 2 nn sapevo se la parte con f... serviva o meno a svolgere l'esercizio, quindi nel dubbio l'ho scritta quando ho postato la domanda