Problema esercizio endomorfismo di $R^3$
Ragazzi ho il seguente endomorfismo di $ R^3$
$h(x,y,z)=(3y,3z,3x)$ devo stabilire se e' diagonalizzabile. La matrice associata e' questa: $((0,3,0),(0,0,3),(3,0,0))$ ed il polinomio caratteristico mi viene cosi' $-t^3+27$ il mio problema e' che non mi hanno fatto studiare i casi particolari di equazioni di terzo grado. Potreste darmi una sterzata?Mi sono bloccata qui. Grazie
$h(x,y,z)=(3y,3z,3x)$ devo stabilire se e' diagonalizzabile. La matrice associata e' questa: $((0,3,0),(0,0,3),(3,0,0))$ ed il polinomio caratteristico mi viene cosi' $-t^3+27$ il mio problema e' che non mi hanno fatto studiare i casi particolari di equazioni di terzo grado. Potreste darmi una sterzata?Mi sono bloccata qui. Grazie
Risposte
La soluzione di $t^3=27$ è data della 3 radici cubiche complesse (una è reale) di 27.
Cioè:
$3$
$3e^(i2/3\pi)$
$3e^(i4/3\pi)$
Cioè:
$3$
$3e^(i2/3\pi)$
$3e^(i4/3\pi)$
In che senso non ti fanno studiare i casi particolari di equazioni di terzo grado? Se non hai familiarità con i complessi, puoi notare che $t = 3$ è radice e scomporre con ruffini...
"Gatto89":
In che senso non ti fanno studiare i casi particolari di equazioni di terzo grado? Se non hai familiarità con i complessi, puoi notare che $t = 3$ è radice e scomporre con ruffini...
nel senso che alla scuola superiore non me l'hanno fatto studiare le equazioni di grado superiore al secondo.
quindi t=3 con $ma=3$ giusto?
salve rieccomi,
l'ho scomposto con ruffini e mi trovo che 3 e' radice del polinomio.
comunque scomposto con ruffini mi trovo $(-t^2-3t-9)(t-3)$ che ha discriminante negativo questo significa che non e' diagonalizzabile la matrice relativa all'endomorfismo? help!!!
l'ho scomposto con ruffini e mi trovo che 3 e' radice del polinomio.
comunque scomposto con ruffini mi trovo $(-t^2-3t-9)(t-3)$ che ha discriminante negativo questo significa che non e' diagonalizzabile la matrice relativa all'endomorfismo? help!!!
Nel mio post precedente ti avevo già scritto quali erano le soluzioni reali e complesse del polinomio caratteristico!!
Se mi avessi ascoltato ti saresti fermato e avresti concluso che la matrice è diagonalizzabile.
Infatti una matrice nxn è diagonalizzabile se e solo se:
1. la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori è n
2. la molteplicità algebrica di ogni autovalore coincide con quella geometrica.
Ora dato che hai 3 autovalori distinti ciò è automaticamente verificato (pensa un po' al perchè...)
e quindi la matrice è diagonalizzabile
Se mi avessi ascoltato ti saresti fermato e avresti concluso che la matrice è diagonalizzabile.
Infatti una matrice nxn è diagonalizzabile se e solo se:
1. la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori è n
2. la molteplicità algebrica di ogni autovalore coincide con quella geometrica.
Ora dato che hai 3 autovalori distinti ciò è automaticamente verificato (pensa un po' al perchè...)
e quindi la matrice è diagonalizzabile
Si ma il suo è un endomorfismo di $RR^3$ e non di $CC^3$, e gli altri due autovalori non sono reali, quindi la matrice non è diagonalizzabile (in quanto possiede un unico autovalore di dimensione algebrica 1).
L'endomorfismo non è neppure triangolabile.
Sì.
Se è definito da $RR^3$ a $RR^3$ allora ovviamente non è diagonalizzabile perchè ha autovalori complessi e quindi ancora una volta ci fermiamo subito dopo aver trovato le radici del polinomio caratteristico.
Infatti una matrice, una volta diagonalizzata, ha sulla diagonale gli autovalori
Se è definito da $RR^3$ a $RR^3$ allora ovviamente non è diagonalizzabile perchè ha autovalori complessi e quindi ancora una volta ci fermiamo subito dopo aver trovato le radici del polinomio caratteristico.
Infatti una matrice, una volta diagonalizzata, ha sulla diagonale gli autovalori
"misanino":
Sì.
Se è definito da $RR^3$ a $RR^3$ allora ovviamente non è diagonalizzabile perchè ha autovalori complessi e quindi ancora una volta ci fermiamo subito dopo aver trovato le radici del polinomio caratteristico.
Infatti una matrice, una volta diagonalizzata, ha sulla diagonale gli autovalori
E' definito in $R^3$ almeno nel mio corso solo nel campo $R$ abbiamo lavorato. Quindi ho fatto bene visto che non e' diagonalizzabile. Perche' dopo averlo ridotto con ruffini il polinomio di secondo grado ottenuto ha il discriminante negativo e l'unico autovalore reale e' $t=3$
"Gatto89":
In che senso non ti fanno studiare i casi particolari di equazioni di terzo grado? Se non hai familiarità con i complessi, puoi notare che $t = 3$ è radice e scomporre con ruffini...
E' molto più semplice osservare che si tratta di una differenza di cubi.
ok thx ragazzi. ma allora come devo procedere?con la differenza di cubi oppure mi fermo e dico non e' diagonalizzabile?considerato che il discriminante e' negativo?
Osservi che le radici non sono tutte reali (perchè nella scomposizione hai trovato un polinomio con una radice reale e un poinomio con il discriminante negativo), e dici che non è diagonalizzabile.
"Paola90":
Osservi che le radici non sono tutte reali (perchè nella scomposizione hai trovato un polinomio con una radice reale e un poinomio con il discriminante negativo), e dici che non è diagonalizzabile.
Confermo in pieno
"Paola90":
Osservi che le radici non sono tutte reali (perchè nella scomposizione hai trovato un polinomio con una radice reale e un poinomio con il discriminante negativo), e dici che non è diagonalizzabile.
Ok thx
"Paola90":
Osservi che le radici non sono tutte reali (perchè nella scomposizione hai trovato un polinomio con una radice reale e un poinomio con il discriminante negativo), e dici che non è diagonalizzabile.
Le radici non sono tutte reali, quindi l'endomorfismo non è triangolabile su [tex]\mathbb{R}[/tex],
quindi non è neppure diagonalizzabile su [tex]\mathbb{R}[/tex].
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