Problema Endomorfismo semplice e/o autoaggiunto e autovalori
Buongiorno a tutti, mi trovo davanti a questo problema:
Dato l'endomorfismo $ \phi $ di $ E^4 $ definito da:
$ f(x,y,z,t) = (2x - \frac{3}{2}z + \frac{3}{2}t \ ; 2y -\frac{3}{2}z - \frac{3}{2}t \ ; -\frac{1}{2}z + \frac{1}{2}t \ ; \frac{1}{2} - \frac{1}{2}t) $ determinare:
1) Gli autovalori di $ \phi $ , con relative molteplicità
2) una base per ogni autospazio di $ \phi $
3) se $ \phi $ è semplice e/o autoaggiunto
4) una base di Im( $ \phi $ )
Allora io avrei svolto in questo modo, ma non sono per nulla convinto:
1) Scrivo la matrice:
$ ( ( 2 , 0 , -\frac{3}{2} , \frac{3}{2} ),( 0 , 2 , -\frac{3}{2} , -\frac{3}{2} ),( 0 , 0 , -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} ),( 0 , 0 , \frac{1}{2} , -\frac{1}{2} ) ) $ $ rarr $ $ ( ( 2 - \lambda , 0 , -\frac{3}{2} , \frac{3}{2} ),( 0 , 2- \lambda , -\frac{3}{2} , -\frac{3}{2} ),( 0 , 0 , -\frac{1}{2}- \lambda , \frac{1}{2} ),( 0 , 0 , \frac{1}{2} , -\frac{1}{2}- \lambda ) ) $
Calcolo ora il determinante e mi viene:
$ (2-\lambda)^2 \lambda(\lambda + 1) = 0 $
Allora trovo gli autovalori che sono 2, -1, 0.
2) Il mio primo problema si presenta quando cerco la base dell'autospazio con $ \lambda = 2 $, infatti ottengo una matrice che come risultato porta solo ad avere $ x,y,z,t = 0 $ e non capisco se sbaglio o in ogni caso non so come comportarmi!
Successivamente calcolo le altre due basi e ottengo:
$ \lambda = -1 \quad \rightarrow \quad L((-1, 0 , -1, 1)) $
$ \lambda = 0 \quad \rightarrow \quad L((0, 3 , 2, 2)) $
Gli altri punti non riesco a farli, mi vengono conti strani o non viene niente, quindi sono in alto mare! Grazie a tutti per l'aiuto!
Dato l'endomorfismo $ \phi $ di $ E^4 $ definito da:
$ f(x,y,z,t) = (2x - \frac{3}{2}z + \frac{3}{2}t \ ; 2y -\frac{3}{2}z - \frac{3}{2}t \ ; -\frac{1}{2}z + \frac{1}{2}t \ ; \frac{1}{2} - \frac{1}{2}t) $ determinare:
1) Gli autovalori di $ \phi $ , con relative molteplicità
2) una base per ogni autospazio di $ \phi $
3) se $ \phi $ è semplice e/o autoaggiunto
4) una base di Im( $ \phi $ )
Allora io avrei svolto in questo modo, ma non sono per nulla convinto:
1) Scrivo la matrice:
$ ( ( 2 , 0 , -\frac{3}{2} , \frac{3}{2} ),( 0 , 2 , -\frac{3}{2} , -\frac{3}{2} ),( 0 , 0 , -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} ),( 0 , 0 , \frac{1}{2} , -\frac{1}{2} ) ) $ $ rarr $ $ ( ( 2 - \lambda , 0 , -\frac{3}{2} , \frac{3}{2} ),( 0 , 2- \lambda , -\frac{3}{2} , -\frac{3}{2} ),( 0 , 0 , -\frac{1}{2}- \lambda , \frac{1}{2} ),( 0 , 0 , \frac{1}{2} , -\frac{1}{2}- \lambda ) ) $
Calcolo ora il determinante e mi viene:
$ (2-\lambda)^2 \lambda(\lambda + 1) = 0 $
Allora trovo gli autovalori che sono 2, -1, 0.
2) Il mio primo problema si presenta quando cerco la base dell'autospazio con $ \lambda = 2 $, infatti ottengo una matrice che come risultato porta solo ad avere $ x,y,z,t = 0 $ e non capisco se sbaglio o in ogni caso non so come comportarmi!
Successivamente calcolo le altre due basi e ottengo:
$ \lambda = -1 \quad \rightarrow \quad L((-1, 0 , -1, 1)) $
$ \lambda = 0 \quad \rightarrow \quad L((0, 3 , 2, 2)) $
Gli altri punti non riesco a farli, mi vengono conti strani o non viene niente, quindi sono in alto mare! Grazie a tutti per l'aiuto!
Risposte
Insomma nessuno può aiutarmi? :/
Ciao 
Il fatto che, inserendo l'autovalore 2 nella matrice, 2 colonne si annullino completamente, non significa che $ x,y $ sono nulle. Il sistema ti dice che l'autospazio ha come caratteristica quella di avere $ z,t $ nulle. $ x,y $ le fissi te. Quindi una possibile base per l'autospazio è $ V(2,f)=<(1,0,0,0),(0,1,0,0)> $. Comunque il calcolo degli autovalori e dei rispettivi autospazi è corretto.
Sto lavorando sul resto.
"Totila":
2) Il mio primo problema si presenta quando cerco la base dell'autospazio con λ=2, infatti ottengo una matrice che come risultato porta solo ad avere x,y,z,t=0 e non capisco se sbaglio o in ogni caso non so come comportarmi!
Il fatto che, inserendo l'autovalore 2 nella matrice, 2 colonne si annullino completamente, non significa che $ x,y $ sono nulle. Il sistema ti dice che l'autospazio ha come caratteristica quella di avere $ z,t $ nulle. $ x,y $ le fissi te. Quindi una possibile base per l'autospazio è $ V(2,f)=<(1,0,0,0),(0,1,0,0)> $. Comunque il calcolo degli autovalori e dei rispettivi autospazi è corretto.
Sto lavorando sul resto.
3) L'endomorfismo è semplice perchè le molteplicità algebriche degli autovalori sono uguali a quelle geometriche.
$ E^4 $ sarebbe $ mathbb(R^4) $? Se è così, presa una base di $ mathbb(R^4) $ ortonormale per $ Phi $(intendo con $ Phi $ il prodotto scalare con cui $ mathbb(R^4) $ è euclideo),per esempio la canonica, se $ f $ è simmetrica allora la matrice associata a questa base deve esserlo. Ma la matrice associata alla base canonica è quella già scritta che non è simmetrica e quindi $ f $ non è simmetrica.
4) per trovare una base dell'immagine è sufficiente ridurre la matrice a scalini. Le prime tre colonne sono una base dell'immagine.
$ E^4 $ sarebbe $ mathbb(R^4) $? Se è così, presa una base di $ mathbb(R^4) $ ortonormale per $ Phi $(intendo con $ Phi $ il prodotto scalare con cui $ mathbb(R^4) $ è euclideo),per esempio la canonica, se $ f $ è simmetrica allora la matrice associata a questa base deve esserlo. Ma la matrice associata alla base canonica è quella già scritta che non è simmetrica e quindi $ f $ non è simmetrica.
4) per trovare una base dell'immagine è sufficiente ridurre la matrice a scalini. Le prime tre colonne sono una base dell'immagine.
Grazie mille, ma non riesco ancora a capire il punto 4). Se la riduco io ottengo 4 colonne e 3 righe (perchè gli ultimi due vettori sono linearmente dipendenti). Quindi com'è possibile che le prime tre colonne siano una base? Grazie!
Ciao
Bhè significa che l'immagine di $ phi $ ha dimensione 3 che è possibile visto che il codominio è $ mathbb(R^4) $. Questo ha senso dato che dalla formula delle dimensioni risulta che $ dimmathbb(R^4)=4=dimimmphi+dimkerphi=3+1 $.
Quindi hai 3 vettori linearmente indipendenti che però hanno 4 componenti visto che stanno in $ mathbb(R^4) $.
Bhè significa che l'immagine di $ phi $ ha dimensione 3 che è possibile visto che il codominio è $ mathbb(R^4) $. Questo ha senso dato che dalla formula delle dimensioni risulta che $ dimmathbb(R^4)=4=dimimmphi+dimkerphi=3+1 $.
Quindi hai 3 vettori linearmente indipendenti che però hanno 4 componenti visto che stanno in $ mathbb(R^4) $.
Aaah ok, quindi in questo caso, se ho capito bene, ho che la base per l'immagine è:
$ B = ((2, 0, -\frac{3}{2}, \frac{3}{2})(0,2,-\frac{3}{2},-\frac{3}{2})(0,0,-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})) $
corretto?
$ B = ((2, 0, -\frac{3}{2}, \frac{3}{2})(0,2,-\frac{3}{2},-\frac{3}{2})(0,0,-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})) $
corretto?
Devi prendere le prime 3 colonne con tutte e 4 le componenti perchè comunque sei sempre in $ mathbb(R^4) $. Una base è data da $ {(2,0,0,0),(0,2,0,0),(-3/2,-3/2,-1/2,1/2)} $
Va bene, perfetto, grazie mille!
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