Problema di topologia
Ciao a tutti! Mi trovo quest'anno, per la prima volta, ad affrontare approfonditamente topologia.
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio, ma ho problemi ad impostarlo, qualcuno potrebbe guidarmi sulla via giusta? Grazie mille!
L'esercizio è il seguente:
Provare che sono equivalenti:
i) Y è uno spazio di Hausdorff (T2)
ii) la diagonale $A={(y,y) in YxY}$ è chiusa in $YxY$
iii) Per ogni spazio topologico X, ogni sottoinsieme denso $D sube X$ ($bar D=X$) e per ogni $f_1,f_2:X->Y$ continue t.c. $f_1|_D$$= f_2|_D$ allora $f_1=f_2$ $AA x in X$.
Sono riuscita a dimostrare che i) implica iii), ma non riesco ad andare avanti.. potreste aiutarmi?
P.s. Ancora non ho ben capito come si usa MathML, abbiate pazienza ci studierò sopra al più presto, intanto ci provo!!
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio, ma ho problemi ad impostarlo, qualcuno potrebbe guidarmi sulla via giusta? Grazie mille!
L'esercizio è il seguente:
Provare che sono equivalenti:
i) Y è uno spazio di Hausdorff (T2)
ii) la diagonale $A={(y,y) in YxY}$ è chiusa in $YxY$
iii) Per ogni spazio topologico X, ogni sottoinsieme denso $D sube X$ ($bar D=X$) e per ogni $f_1,f_2:X->Y$ continue t.c. $f_1|_D$$= f_2|_D$ allora $f_1=f_2$ $AA x in X$.
Sono riuscita a dimostrare che i) implica iii), ma non riesco ad andare avanti.. potreste aiutarmi?
P.s. Ancora non ho ben capito come si usa MathML, abbiate pazienza ci studierò sopra al più presto, intanto ci provo!!
Risposte
Allora sono andata un po' avanti, riporto le mie dimostrazioni per avere conferma e per stimolare l'attenzione su questo post
ho dimostrato $i)=>ii)$ così:
sia $(x,y) !in A => x!=y$ e poiché Y è T2 $EE U,V sube Y $ t.c. $x in U, y in V$ e $U nn V = O/$
Ora vorrei dimostrare che $(UxV)nnA=O/$
per assurdo $EEz in Y$ t.c. $(z,z) in Ann(UxV)$ $=> z in U$ e $z in V$ che è assurdo perciò A è chiuso in $YxY$.
poi ho fatto $ii)=>i)$
siano $x,y in Y$ con $x!=y => (x,y)!inA => EEU,V$ aperti$sube Y$ t.c. $(x,y) in UxV$ e $(UxV)nnA=O/$ con $x in U, y in V$
se per assurdo $UnnV={z} => (z,z) in UxV$ e $(z,z) in A$ che è assurdo
perciò $AAx,y in Y$, $ EEU,V in Y$ t.c. $UnnV=O/$ perciò Y è T2.
Ora, come dimostrare che $iii)=>i)$ o che $iii)=>ii)$?
ho dimostrato $i)=>ii)$ così:
sia $(x,y) !in A => x!=y$ e poiché Y è T2 $EE U,V sube Y $ t.c. $x in U, y in V$ e $U nn V = O/$
Ora vorrei dimostrare che $(UxV)nnA=O/$
per assurdo $EEz in Y$ t.c. $(z,z) in Ann(UxV)$ $=> z in U$ e $z in V$ che è assurdo perciò A è chiuso in $YxY$.
poi ho fatto $ii)=>i)$
siano $x,y in Y$ con $x!=y => (x,y)!inA => EEU,V$ aperti$sube Y$ t.c. $(x,y) in UxV$ e $(UxV)nnA=O/$ con $x in U, y in V$
se per assurdo $UnnV={z} => (z,z) in UxV$ e $(z,z) in A$ che è assurdo
perciò $AAx,y in Y$, $ EEU,V in Y$ t.c. $UnnV=O/$ perciò Y è T2.
Ora, come dimostrare che $iii)=>i)$ o che $iii)=>ii)$?
Bel problema! 
Per i) $=>$ ii):
Mostriamo che il complementare è aperto, ma se $(x,y) in Y^2-A$ allora $x!=y$ quindi esistono intorni $I_1$,$I_2$ di $x,y$ risp. disgiunti, allora $I_1 X I_2 sube Y^2-A$ infatti se $(z,z) in I_1 X I_2$ sarebbe $z in I_1 cap I_2$ assurdo. Allora il complemento della diagonale contiene un intorno di ogni suo punto quindi è aperto.
Per ii) $=>$ iii):
La funzione $f_1 * f_2: X times X -> Y times Y$ è continua, inoltre $f_1 * f_2 (D times D) sube A$ che è chiuso, quindi la controimmagine di A mediante $f_1 * f_2$ è un chiuso incluso in $D times D$ essendo $D times D$ denso essa è $X times X$ quindi le funzioni $f_1,f_2$ coincidono.
Per iii) $=>$ i):
Devo pensarci un po'... però conviene farla in questo ordine...
Per i) $=>$ ii):
Mostriamo che il complementare è aperto, ma se $(x,y) in Y^2-A$ allora $x!=y$ quindi esistono intorni $I_1$,$I_2$ di $x,y$ risp. disgiunti, allora $I_1 X I_2 sube Y^2-A$ infatti se $(z,z) in I_1 X I_2$ sarebbe $z in I_1 cap I_2$ assurdo. Allora il complemento della diagonale contiene un intorno di ogni suo punto quindi è aperto.
Per ii) $=>$ iii):
La funzione $f_1 * f_2: X times X -> Y times Y$ è continua, inoltre $f_1 * f_2 (D times D) sube A$ che è chiuso, quindi la controimmagine di A mediante $f_1 * f_2$ è un chiuso incluso in $D times D$ essendo $D times D$ denso essa è $X times X$ quindi le funzioni $f_1,f_2$ coincidono.
Per iii) $=>$ i):
Devo pensarci un po'... però conviene farla in questo ordine...
Non mi è molto chiara la tua dimostrazione di ii) $=>$ iii)
$f_1*f_2$ è definita così: $(x,x)|->(f_1(x),f_2(x))$?
Come fai poi a concludere che le due coincidono??
Scrivo anche come ho dimostrato che i) $=>$ iii), magari può servire per l'altro verso!
Sia $M={x in X$ t.c. $f_1(x)=f_2(x)}$
$D subeM$, se proviamo che M è chiuso abbiamo dimostrato che M coincide con X (perché M chiuso $=> bar D sube bar M =M =>bar D=M=>M=X$)
Allora proviamo che X-M è aperto:
sia $x in X-M => y_1=f_1(x)!=f_2(x)=y_2$ $=> EE V,W sube Y$ t.c. $y_1 in V$, $y_2 in W$ e $VnnW=O/$
$f_1$ è continua $=>f_1^-1(V)$ è aperto in X
$f_2$ è continua $=>f_2^-1(W)$ è aperto in X
$=> f_1^-1(V) nn f_2^-1(W)$ è aperto e $f_1^-1(V) nn f_2^-1(W)!=O/$ (c'è almento x)
Se $f_1^-1(V) nn f_2^-1(W)={x} => [f_1^-1(V) nn f_2^-1(W)] nn M = O/ => f_1^-1(V) nn f_2^-1(W) sub X-M$
se in $f_1^-1(V) nn f_2^-1(W)$ c'è almeno un altro punto, vogliamo comunque provare che $f_1^-1(V) nn f_2^-1(W) sub X-M$
per assurdo $[f_1^-1(V) nn f_2^-1(W)] nn M != O/$
$EE bar x in [f_1^-1(V) nn f_2^-1(W)] nn M => bar x in f_1^-1(V) nn f_2^-1(W)$, $bar x in M$
$bar x in M => f_1(bar x)=f_2(bar x)= bar y$
$bar x in f_1^-1(V) nn f_2^-1(W) => bar y=f_1(bar x) in U$ e $bar y=f_2(bar x) in V$ cioè $ EE bar y in UnnV$ che è assurdo
Perciò $f_1^-1(V) nn f_2^-1(W) sub X-M$ cioè $X-M$ contiene tutto un intorno del suo punto $=> X-M$ è aperto $ => M$ è chiuso.
Non c'è nessuno che mi aiuta a dimoastrare il viceversa? cioè che $iii)=>i)$?
$f_1*f_2$ è definita così: $(x,x)|->(f_1(x),f_2(x))$?
Come fai poi a concludere che le due coincidono??
Scrivo anche come ho dimostrato che i) $=>$ iii), magari può servire per l'altro verso!
Sia $M={x in X$ t.c. $f_1(x)=f_2(x)}$
$D subeM$, se proviamo che M è chiuso abbiamo dimostrato che M coincide con X (perché M chiuso $=> bar D sube bar M =M =>bar D=M=>M=X$)
Allora proviamo che X-M è aperto:
sia $x in X-M => y_1=f_1(x)!=f_2(x)=y_2$ $=> EE V,W sube Y$ t.c. $y_1 in V$, $y_2 in W$ e $VnnW=O/$
$f_1$ è continua $=>f_1^-1(V)$ è aperto in X
$f_2$ è continua $=>f_2^-1(W)$ è aperto in X
$=> f_1^-1(V) nn f_2^-1(W)$ è aperto e $f_1^-1(V) nn f_2^-1(W)!=O/$ (c'è almento x)
Se $f_1^-1(V) nn f_2^-1(W)={x} => [f_1^-1(V) nn f_2^-1(W)] nn M = O/ => f_1^-1(V) nn f_2^-1(W) sub X-M$
se in $f_1^-1(V) nn f_2^-1(W)$ c'è almeno un altro punto, vogliamo comunque provare che $f_1^-1(V) nn f_2^-1(W) sub X-M$
per assurdo $[f_1^-1(V) nn f_2^-1(W)] nn M != O/$
$EE bar x in [f_1^-1(V) nn f_2^-1(W)] nn M => bar x in f_1^-1(V) nn f_2^-1(W)$, $bar x in M$
$bar x in M => f_1(bar x)=f_2(bar x)= bar y$
$bar x in f_1^-1(V) nn f_2^-1(W) => bar y=f_1(bar x) in U$ e $bar y=f_2(bar x) in V$ cioè $ EE bar y in UnnV$ che è assurdo
Perciò $f_1^-1(V) nn f_2^-1(W) sub X-M$ cioè $X-M$ contiene tutto un intorno del suo punto $=> X-M$ è aperto $ => M$ è chiuso.
Non c'è nessuno che mi aiuta a dimoastrare il viceversa? cioè che $iii)=>i)$?
Ciao,
il problema di dimostrare che iii) implica i) è molto interessante. Finora sono riuscito a mostrare che se Y verifica iii) allora è T1, ma non riesco ad arrivare al tanto ambito T2. D'altra parte T1 non implica iii) (con l'aiuto di amici ho trovato un controesempio). A posteriori questo è ovvio (se T1 implicasse iii) allora implicherebbe T2 in quanto iii) implica T2) ma non ne ero convintissimo (a dirla tutta non lo sono nemmeno adesso).
il problema di dimostrare che iii) implica i) è molto interessante. Finora sono riuscito a mostrare che se Y verifica iii) allora è T1, ma non riesco ad arrivare al tanto ambito T2. D'altra parte T1 non implica iii) (con l'aiuto di amici ho trovato un controesempio). A posteriori questo è ovvio (se T1 implicasse iii) allora implicherebbe T2 in quanto iii) implica T2) ma non ne ero convintissimo (a dirla tutta non lo sono nemmeno adesso).
Anche io ero riuscita ad arrivare a T1, ma non so come andare avanti! Mi interessano tutte le implicazioni, cioè vorrei arrivare a dimostrare tutto: $i)iff ii) iff iii)$!
Non mi è ben chiara la dimostrazione che mi ha dato zorn, in ogni caso mancherebbero le seguenti implicazioni:
$iii)=>i)$
$iii)=>ii)$.
Secondo te la dimostrazione che ho scritto per dimostrare che $i)=>iii)$ è corretta? si può migliorare?
Non mi è ben chiara la dimostrazione che mi ha dato zorn, in ogni caso mancherebbero le seguenti implicazioni:
$iii)=>i)$
$iii)=>ii)$.
Secondo te la dimostrazione che ho scritto per dimostrare che $i)=>iii)$ è corretta? si può migliorare?
"blunotte":
la dimostrazione che ho scritto per dimostrare che $i)=>iii)$ è corretta? si può migliorare?
Credo che vada proprio bene.
Scusa ma te lo devo proprio chiedere: sei sicura che iii) implica i) ?
Dove hai preso questo esercizio?
Ho pensato alle topologie più divertenti e ridicole, ma non ne ho cavato nulla (ciò non è molto indicativo, in effetti, ma vorrei riprendere a dormire la notte ).
Dove hai preso questo esercizio?
Ho pensato alle topologie più divertenti e ridicole, ma non ne ho cavato nulla (ciò non è molto indicativo, in effetti, ma vorrei riprendere a dormire la notte
).
Sono sicura, il testo dice che le tre affermazioni sono equivalenti.
Presupposto che dimostrare $iii)=>i)$ è alquanto difficile, qualcuno sa interpretarmi
perché io non ho ben capito..
Ma fatta $ii) =>iii)$ avrei fatto:
$iii) => i) => ii) => iii)$
E il gioco è fatto! (anche se il mio obiettivo era dimostrare tutti i versi delle implicazioni)
Presupposto che dimostrare $iii)=>i)$ è alquanto difficile, qualcuno sa interpretarmi
"zorn":
Per ii) $=>$ iii):
La funzione $f_1 * f_2: X times X -> Y times Y$ è continua, inoltre $f_1 * f_2 (D times D) sube A$ che è chiuso, quindi la controimmagine di A mediante $f_1 * f_2$ è un chiuso incluso in $D times D$ essendo $D times D$ denso essa è $X times X$ quindi le funzioni $f_1,f_2$ coincidono.
perché io non ho ben capito..
Ma fatta $ii) =>iii)$ avrei fatto:
$iii) => i) => ii) => iii)$
E il gioco è fatto! (anche se il mio obiettivo era dimostrare tutti i versi delle implicazioni)
Io non te lo so interpretare purtroppo. Prova a mandare a zorn un messaggio privato.
Posso chiederti su che testo hai trovato questo esercizio?
Se sì, su che testo l'hai trovato?
Posso chiederti su che testo hai trovato questo esercizio?
Se sì, su che testo l'hai trovato?
Ripensandoci, dimostrare che $ii) => iii)$ non mi serve a nulla perché io ho fatto: $i) <=> ii)$ e $i) => iii) $.
Mi serve di dimostrare che la terza implica o la prima o la seconda! Non so proprio come fare.. Ho pure scoperto che gli esercizi vanno consegnati al prof, che ne terrà conto sulla valutazione!!
Ho visto che ci sono state molte visite, nessuno sa aiutarmi?!?
@Martino: l'esercizio viene direttamente dal mio prof!! Non so dove l'abbia preso lui!
Mi serve di dimostrare che la terza implica o la prima o la seconda! Non so proprio come fare.. Ho pure scoperto che gli esercizi vanno consegnati al prof, che ne terrà conto sulla valutazione!!
Ho visto che ci sono state molte visite, nessuno sa aiutarmi?!?
@Martino: l'esercizio viene direttamente dal mio prof!! Non so dove l'abbia preso lui!
Ok chiarisco la mia dimostrazione
La funzione $f_1*f_2$ è definita da $f_1*f_2(x)=(f_1(x),f_2(x))$ e ha dominio $X$ non $X times X$
inoltre $x in D => f_1(x)=f_2(x)$ per ipotesi, perciò $(f_1*f_2)(x,x)=(y,y) in A$ quindi la controimmagine di A, chiuso per ipotesi, contiene $D$, essendo $f_1,f_2$ continue tale controimmagine è chiusa quindi contiene la chiusura di D che è X in quanto D denso.
Spero sia più chiara
La funzione $f_1*f_2$ è definita da $f_1*f_2(x)=(f_1(x),f_2(x))$ e ha dominio $X$ non $X times X$
inoltre $x in D => f_1(x)=f_2(x)$ per ipotesi, perciò $(f_1*f_2)(x,x)=(y,y) in A$ quindi la controimmagine di A, chiuso per ipotesi, contiene $D$, essendo $f_1,f_2$ continue tale controimmagine è chiusa quindi contiene la chiusura di D che è X in quanto D denso.
Spero sia più chiara
Sì, grazie! Ora mi è più chiara!
Rimane il fatto che non riesco a dimostrare che $iii)=>i)$ o che $iii)=>ii)$.
Ci riprovo un altro po'!! Grazie
Rimane il fatto che non riesco a dimostrare che $iii)=>i)$ o che $iii)=>ii)$.
Ci riprovo un altro po'!! Grazie
"blunotte":Ci provo $iii)\implies i)$.
Provare che sono equivalenti:
i) Y è uno spazio di Hausdorff (T2)
ii) la diagonale $A={(y,y) in YxY}$ è chiusa in $YxY$
iii) Per ogni spazio topologico X, ogni sottoinsieme denso $D sube X$ ($bar D=X$) e per ogni $f_1,f_2:X->Y$ continue t.c. $f_1|_D$$= f_2|_D$ allora $f_1=f_2$ $AA x in X$.
Siano $a,b\in Y$ distinti; supponiamo, per assurdo che, comunque scelti due aperti $V_a,V_b$ e $a\in V_a$ e $b\in V_b$ si ha $V_a \cap V_b\ne \emptyset$.
Necessariamente almeno uno dei due tra ${a}$ e ${b}$ non è aperto; diciamo ${a}$ non è aperto.
Sia $\tau$ la topologia su $Y$, e sia $X=Y$ ma con topologia $\sigma$ definita da
$U\subseteq Y$ è un aperto di $\sigma$ se e solo se vale almeno uno dei seguenti casi:[list=1][*:25vul0u0]$a\notin U$[/*:m:25vul0u0]
[*:25vul0u0]$a\in U$ allora $U\supseteq V_a\cap V_b$ per qualche $V_a,V_b\in \tau$ con $a\in V_a$ e $b\in V_b$.[/*:m:25vul0u0][/list:o:25vul0u0]Anche in questa topologia ${a}$ non è aperto, così $Y\setminus {a}$ non è chiuso in $(Y,\sigma)$, ma è denso in $(Y,\sigma)$.
Sia $f: (Y,\sigma)\to (Y,\tau)$ l'identità, e sia $g: (Y,\sigma)\to (Y,\tau)$ tale $g(a)=b$ e $g(y)=y$ se $y\ne a$.
Allora $f\ne g$, ma $f,g$ coincidono su $Y\setminus{a}$.
$f$ è continua perchè $\tau \subseteq \sigma$.
$g$ è continua: infatti, se $V\in \tau$, allora
$g^{-1}(V)=V\setminus{a}$ se $a\in V$ e $b\notin V$
$g^{-1}(V)=V\cup {a}$ se $b\in V$
$g^{-1}(V)=V$ se $a,b\notin V$
così $g^{-1}(V)\in \sigma$.
Contraddizione con $iii)$.
EDIT: ho specificato per qualche.
"ficus2002":
Necessariamente almeno uno dei due tra ${a}$ e ${b}$ non è aperto; diciamo ${a}$ non è aperto.
Come mai almeno uno dei due non è aperto (cioè chiuso)?
Ciao ficus2002, circa la topologia su X intendi che un $U$ a cui appartiene il punto a è aperto se e solo se esistono $V_a$ e $V_b$ tali che.....? o che contiene tutte le intersezioni tra $V_a$ e $V_b$ (in tal caso sarebbe come dire che l'unico aperto passante per a è X stesso). Nel primo caso mi spieghi perchè il singleton di a risulterebbe ancora non aperto?
"blunotte":Come mai almeno uno dei due non è aperto (cioè chiuso)?[/quote]
[quote="ficus2002"]
Necessariamente almeno uno dei due tra ${a}$ e ${b}$ non è aperto; diciamo ${a}$ non è aperto.
Se ${a},{b}$ fossero aperti, allora avrei $V_a:={a}$ aperto conente $a$, $V_b:={b}$ aperto contenente $b$ e $V_a\cap V_b=\emptyset$ contro l'assunzione.
"luluemicia":
Ciao ficus2002, circa la topologia su X intendi che un $U$ a cui appartiene il punto a è aperto se e solo se esistono $V_a$ e $V_b$ tali che.....? o che contiene tutte le intersezioni tra $V_a$ e $V_b$ (in tal caso sarebbe come dire che l'unico aperto passante per a è X stesso). Nel primo caso mi spieghi perchè il singleton di a risulterebbe ancora non aperto?
Basta che esista una coppia di tali $V_a$ e $V_b$. Magari specifico nel post di sopra.
Se $U\in \sigma$ e $a\in U$, allora esistono $V_a,V_b\in \tau$ con $a\in V_a$ e $b\in V_b$ tali che $U\supseteq V_a\cap V_b$. Poichè $V_a\cap V_b\ne \emptyset$ e $V_a\cap V_b\ne {a}$, ho $U\ne {a}$. Così ${a}\notin \sigma$ .
Ciao ficus2002, perchè $V_a \cap V_b$ non può ridursi al singleton di $a$?
"luluemicia":
Ciao ficus2002, perchè $V_a \cap V_b$ non può ridursi al singleton di $a$?
Perchè $V_a\cap V_b \in \tau$ mentre ${a}\notin \tau$.
Ciao ficus2002, complimentissimi. Una dimostrazione bellissima.
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