Problema di teoria: spazi T4

[lewis1]

Buon pomeriggio.
Ho un problema di teoria.
Per dimostrare la seguente proposizione "Uno spazio metrizzabile X è $T_4$" , dato $S sube X$ e $d$ la metrica che induce la topologia sull'insieme, si definisce la seguente funzione:

$d_S (x) = {$inf $d(x,y)}$ con $y in S$

e si sfrutta il fatto che $d_S (x) = 0 hArr x in bar S$

Non riesco a capire il perchè di quest'ultima affermazione.
Per definizione di metrica ho che $d(x,y) = 0 hArr x=y$ ma questo non vale in qualsiasi insieme? Cioè, non vale anche semplicemente in S? Perchè dovrebbe valere solo nella chiusura?


Grazie mille per l'aiuto.
Ciao

[dissonance]

[Puoi scrivere "inf" in ASCIIMathML semplicemente mettendolo tra virgolette: \$"inf"\$ - $"inf"$]

Guarda, facciamo subito un controesempio così ti togli il pensiero. Prendi l'intervallo $[0, 1)$ in $RR$. Quanto dista $1$ da $[0, 1)$?

[elvis3]

"lewis":
Per definizione di metrica ho che $d(x,y) = 0 hArr x=y$ ma questo non vale in qualsiasi insieme? Cioè, non vale anche semplicemente in S? Perchè dovrebbe valere solo nella chiusura?

Ma $S sube bar S$.

[ViciousGoblin]

"lewis":Buon pomeriggio.
Ho un problema di teoria.
Per dimostrare la seguente proposizione "Uno spazio metrizzabile X è $T_4$" , dato $S sube X$ e $d$ la metrica che induce la topologia sull'insieme, si definisce la seguente funzione:

$d_S (x) = {$inf $d(x,y)}$ con $y in S$

e si sfrutta il fatto che $d_S (x) = 0 hArr x in bar S$

Non riesco a capire il perchè di quest'ultima affermazione.
Per definizione di metrica ho che $d(x,y) = 0 hArr x=y$ ma questo non vale in qualsiasi insieme? Cioè, non vale anche semplicemente in S? Perchè dovrebbe valere solo nella chiusura?


Grazie mille per l'aiuto.ii
Ciao

Che $d(x,y) = 0 hArr x=y$ è vero anche in $S$. Ma sopra si parlava di $d_S(x)$ e non di $d(x,y)$. Come voleva farti notare dissonance, se prendi $S=[0,1[$ e $x=1$ si ha
di $d_S(x)=0$ nonostante $x$ non appartenga a $S$.