Problema di geometria analitica nello spazio
Salve a tutti, ho un problema di geometria analitica nello spazio che non so svolgere correttamente:
Date le due rette parametriche $ r:{ ( x=4t+1 ),( y=5t+2 ),( z=t+1 ):} $ $ r’:{ ( x=ks+k ),(y=5s-k+3),( z=(6-k)s+k ):} $
a) dire al variare di “k” se le due rette siano sghembe, incidenti, parallele o coincidenti
Io ho uguagliato le x,y,z delle rispettive rette e portato i termini noti a secondo membro, mentre quelli incogniti a primo: $ { ( 4t-ks=k-1 ),( 5t-5s=1-k ),( t-(6-k)s=k-1 ):} $
Ho costruito poi la matrice nelle incognite t ed s: $ (A|B)=( ( 4 , -k ,| kk-1 ),( 5 , -5 , 1-k ),( 1 , k-6 , k-1 ) ) $ , che con l’eliminazione di Gauss diviene: $ (A|B)=( ( 4 , -k ,| k-1 ),( 0 , (5k-20)/4 , (-9k+9)/4 ),( 0 , (5k-24)/4 , (3k-3)/4 ) ) $
Adesso quindi sono pronto per la discussione (cioè determino il rango di A e A|B al variare di k e li metto in relazione per stabilire la posizione reciproca tra le due rette): gli unici valori di k che mi annullano le righe di A sono $ k=4,24/5 $ , quindi discuto utilizzando solo questi valori:
$ -k=4,24/5: $ $ r(A)= 2; r(A|B)=3 $ le due rette sono quindi sghembe
Però poi non so come continuare, perché per $ k!= 4,24/5 $: $ r(A)=r(A|B)=3 $ e in questo caso non posso dire nulla sulla posizione delle due rette.
Riuscite a darmi una mano? Grazie!
Date le due rette parametriche $ r:{ ( x=4t+1 ),( y=5t+2 ),( z=t+1 ):} $ $ r’:{ ( x=ks+k ),(y=5s-k+3),( z=(6-k)s+k ):} $
a) dire al variare di “k” se le due rette siano sghembe, incidenti, parallele o coincidenti
Io ho uguagliato le x,y,z delle rispettive rette e portato i termini noti a secondo membro, mentre quelli incogniti a primo: $ { ( 4t-ks=k-1 ),( 5t-5s=1-k ),( t-(6-k)s=k-1 ):} $
Ho costruito poi la matrice nelle incognite t ed s: $ (A|B)=( ( 4 , -k ,| kk-1 ),( 5 , -5 , 1-k ),( 1 , k-6 , k-1 ) ) $ , che con l’eliminazione di Gauss diviene: $ (A|B)=( ( 4 , -k ,| k-1 ),( 0 , (5k-20)/4 , (-9k+9)/4 ),( 0 , (5k-24)/4 , (3k-3)/4 ) ) $
Adesso quindi sono pronto per la discussione (cioè determino il rango di A e A|B al variare di k e li metto in relazione per stabilire la posizione reciproca tra le due rette): gli unici valori di k che mi annullano le righe di A sono $ k=4,24/5 $ , quindi discuto utilizzando solo questi valori:
$ -k=4,24/5: $ $ r(A)= 2; r(A|B)=3 $ le due rette sono quindi sghembe
Però poi non so come continuare, perché per $ k!= 4,24/5 $: $ r(A)=r(A|B)=3 $ e in questo caso non posso dire nulla sulla posizione delle due rette.
Riuscite a darmi una mano? Grazie!
Risposte
Per $k=1 rArr s=t=0$ e le due rette sono coincidenti perchè si intersecano nel punto $(1,2,1)$.
Le due direzioni sono $(4,5,1)$ e $(k,5,6-k)$. Uguagliando le componenti si scopre che non pososno mai essere parallele.
Le due direzioni sono $(4,5,1)$ e $(k,5,6-k)$. Uguagliando le componenti si scopre che non pososno mai essere parallele.
Che metodo ha utilizzato? Riuscirebbe ad utilizzare il mio? Grazie
Ho usato il tuo.
$ (A|B)=( ( 4 , -k ,| kk-1 ),( 5 , -5 , 1-k ),( 1 , k-6 , k-1 ) ) $
Le prime due colonne sono le direzioni e sono sempre indipendenti per ogni k.
La terza colonna si annulla per $k=1$ quindi il sistema omogeneo ha soluzione per $t=s=0$
$ (A|B)=( ( 4 , -k ,| kk-1 ),( 5 , -5 , 1-k ),( 1 , k-6 , k-1 ) ) $
Le prime due colonne sono le direzioni e sono sempre indipendenti per ogni k.
La terza colonna si annulla per $k=1$ quindi il sistema omogeneo ha soluzione per $t=s=0$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo