Problema di Geometria analitica
E' la prima volta che apro un topic di questo tipo quindi spero di aver scelto la sezione giusta.
Si determinino i coefficienti dell'equazione $y = ax^2 + bx +c$ in modo che la parabola da essa rappresentata sia tangente alle tre rette di equazioni:
$sx + y -3 =0$
$4x -y -12 =0$
$y=0$
Detti $A$, $B$, $C$ i rispettivi punti di contatto, si determini sull'arco $ACB$ un punot $P$ tale che risulti massima l'area del triangolo $APB$.
La prima parte è banale (se volete risparmiare tempo metto anche le soluzioni)
$y = x^2 -4x +4$
$A(1;1), B(4;4), C(2;0)$
Il punto $P$ non lo riesco a trovare in modo dimostrato. Io so che l'arco $AB$ è la base del triangolo, quindi per avere l'area massima deve essere massima anche l'altezza che è la perpendicolare a quella corda. Così ho trovato la retta tangente alla parabola e parallela ad $AB$ col risultato che il punto di incontro tra la parabola e la tangente risulta quello più distante dalla corda $AB$ e quindi vertice del triangolo con area massima. (Confermato dalle soluzioni, ma non riesco a dimostrarlo).
Qualcuno conosce dei metodi "dimostrati"?
Si determinino i coefficienti dell'equazione $y = ax^2 + bx +c$ in modo che la parabola da essa rappresentata sia tangente alle tre rette di equazioni:
$sx + y -3 =0$
$4x -y -12 =0$
$y=0$
Detti $A$, $B$, $C$ i rispettivi punti di contatto, si determini sull'arco $ACB$ un punot $P$ tale che risulti massima l'area del triangolo $APB$.
La prima parte è banale (se volete risparmiare tempo metto anche le soluzioni)
$y = x^2 -4x +4$
$A(1;1), B(4;4), C(2;0)$
Il punto $P$ non lo riesco a trovare in modo dimostrato. Io so che l'arco $AB$ è la base del triangolo, quindi per avere l'area massima deve essere massima anche l'altezza che è la perpendicolare a quella corda. Così ho trovato la retta tangente alla parabola e parallela ad $AB$ col risultato che il punto di incontro tra la parabola e la tangente risulta quello più distante dalla corda $AB$ e quindi vertice del triangolo con area massima. (Confermato dalle soluzioni, ma non riesco a dimostrarlo).
Qualcuno conosce dei metodi "dimostrati"?
Risposte
Dunque, io ho provato a fare in questo modo: il punto $P$ deve appartenere alla retta $y=-x+\alpha$ per un certo $\alpha$, per essere perpendicolare alla retta AB. P=(x,$alpha$-x). Inoltre P è un punto della parabola, per cui soddisfa la sua equazione. Mettendo insieme queste condizioni si ottiene:
$x^2 -3x+4-\alpha=0$
La funzione "distanza di P dalla retta AB" sarà $F(x)=\frac{|2x-\alpha|}{\sqrt(2)}=\frac{|x^2-5x+4|}{\sqrt(2)}$. P appartiene all'arco AB, per cui la sua ascissa sarà inclusa nell'intervallo [2,4], per cui il numeratore di F è sempre negativo. Derivando e ponendo F'(x)=0 si ottiene x=$5sqrt(2)/2$.
Paola
$x^2 -3x+4-\alpha=0$
La funzione "distanza di P dalla retta AB" sarà $F(x)=\frac{|2x-\alpha|}{\sqrt(2)}=\frac{|x^2-5x+4|}{\sqrt(2)}$. P appartiene all'arco AB, per cui la sua ascissa sarà inclusa nell'intervallo [2,4], per cui il numeratore di F è sempre negativo. Derivando e ponendo F'(x)=0 si ottiene x=$5sqrt(2)/2$.
Paola
Grazie, considerando che non conosco le derivate, il metodo che ho usato sopra è sempre valido oppure ho avuto solo fortuna?
Secondo me il tuo metodo non è rigoroso, magari hai fortuna con le proprietà della parabola, ma non credo sia accettabile. Considerando che F è l'equazione di una parabola a concavità negativa e devi trovare il suo punto di massimo, puoi farcela anche senza derivata, ovvero osservando che è il suo vertice, di cui immagino avrai la formula.
Paola
Paola
Ok, grazie, era questo che volevo sapere.
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