Problema di geometria
Salve ragazzi, c'è un esercizio che proprio non mi riesce, non so proprio da dove incominciare. potete aiutarmi? il testo è questo:
Nello spazio, riferito a un sistema ortonormale \sigma= (O;{i,j,k}),
si consideri il fascio F delle rette di centro il punto A = (1; 1;-1) giacenti
sul piano \pi di equazione x+2y +2z = 1. Determinare l'equazione del piano
che contiene la retta r :
x - y = 0
y - z = 0
ed ortogonale a una retta del fascio F.
Nello spazio, riferito a un sistema ortonormale \sigma= (O;{i,j,k}),
si consideri il fascio F delle rette di centro il punto A = (1; 1;-1) giacenti
sul piano \pi di equazione x+2y +2z = 1. Determinare l'equazione del piano
che contiene la retta r :
x - y = 0
y - z = 0
ed ortogonale a una retta del fascio F.
Risposte
Prendiamo un nuovo sistema di riferimento, perché son pigro, principalmente e questo sarà:
$((1),(1),(-1)) + <((0),(1),(-1)), ((4),(-1),(-1)), ((1),(2),(2))>$
La direzione della retta r rispetto alle nuove coordinate sarà:
${(4 beta + gamma=delta),(alpha -beta +2 gamma= delta),(-alpha -beta + 2 gamma=delta):}=>{(alpha=0),(beta=1),(gamma=5):}$
Quindi sarà proprio il vettore che ha coefficiente pari a 0 il vettore ortogonale al piano e il piano sarà:
y-z=0.
$((1),(1),(-1)) + <((0),(1),(-1)), ((4),(-1),(-1)), ((1),(2),(2))>$
La direzione della retta r rispetto alle nuove coordinate sarà:
${(4 beta + gamma=delta),(alpha -beta +2 gamma= delta),(-alpha -beta + 2 gamma=delta):}=>{(alpha=0),(beta=1),(gamma=5):}$
Quindi sarà proprio il vettore che ha coefficiente pari a 0 il vettore ortogonale al piano e il piano sarà:
y-z=0.
Ti ringrazio per la risposta; probabilmente il mio professore ha un modo di esporre le cose totalmente diverso dal tuo, e purtroppo non ho capito niente di quello che hai scritto! inoltre siccome fra due settimane ho il compito, e lui mi darà esercizi in sistemi di riferimento uguali a quello di questo esercizio, troverei particolarmente utile un aiuto ma restando in quel sistema di riferimento, anche se da quel che ho capito è molto "rognoso"!
Dimmi che strumenti hai! Tipo, conosci il prodotto scalare e vettoriale?
Si si li conosco, conosco le equazioni parametriche di una retta, parallelismo, ortogonalità, eq parametrica di un piano, eq cartesiana, parallelismo e ortogonalità tra piani, tra retta e piano, l'unica è che guardando gli appunti il prof non ha fatto il fascio di rette, quando ho provato a fare l'esercizio per prima cosa ho pensato di trovare l'equazione del fascio di rette passante per quel punto e giacenti in quel piano e una volta ottenuta proseguire. E' giusto così? o non occorre??
Puoi farlo, ma è un po' una pazzia, la cosa migliore è prendere il vettore direttore della retta e togliere la componente ortogonale al piano, in questo modo trovi la componente parallela al piano. Una volta che hai la componente parallela, il piano sarà dato da questa componente e da quella ortogonale ed hai finito l'esercizio. Provo a spiegarti passo passo anche con dei disegni:
Questa è la situazione base, hai il piano azzurro e la retta in rosso.
Ora scomponiamo la retta, ecco una formula utile per trovare il vettore della proiezione:
$((1),(1),(1))- (((1),(1),(1)).((1),(2),(2)))/(((1),(2),(2)).((1),(2),(2))) ((1),(2),(2))=>((1),(1),(1))- 5/9 ((1),(2),(2)) => 1/9 ((4),(-1),(-1))=>((4),(-1),(-1))$
Vedi in giallo la componente ortogonale e in verde la parallela.
Ecco il piano formato dalla componente ortogonale e dalla proiezione .
Dimmi se non ti è chiaro, chiedi pure
Questa è la situazione base, hai il piano azzurro e la retta in rosso.
Ora scomponiamo la retta, ecco una formula utile per trovare il vettore della proiezione:
$((1),(1),(1))- (((1),(1),(1)).((1),(2),(2)))/(((1),(2),(2)).((1),(2),(2))) ((1),(2),(2))=>((1),(1),(1))- 5/9 ((1),(2),(2)) => 1/9 ((4),(-1),(-1))=>((4),(-1),(-1))$
Vedi in giallo la componente ortogonale e in verde la parallela.
Ecco il piano formato dalla componente ortogonale e dalla proiezione .
Dimmi se non ti è chiaro, chiedi pure
$((1),(1),(1))$ sarebbe il vettore della retta $x=y=z$ giusto? e $((1),(2),(2))$ è il vettore del piano?
Quindi hai scomposto la retta in due componenti, una parallela e una ortogonale, rispetto al piano $x+2y+2z=1$ o al piano da trovare?
C'è una cosa che non mi torna, che senso ha nel testo considerare il fascio di rette di centro A? non bastava solo l'equazione del piano si cui giaciono le rette? Non era la stessa cosa se anziche chiedere l'equazione del piano ortogonale a una retta del fascio chiedeva ortogonale al piano $x+2y+2z=1$?? o forse il piano che cerchiamo deve contenere il punto A?
Quindi hai scomposto la retta in due componenti, una parallela e una ortogonale, rispetto al piano $x+2y+2z=1$ o al piano da trovare?
C'è una cosa che non mi torna, che senso ha nel testo considerare il fascio di rette di centro A? non bastava solo l'equazione del piano si cui giaciono le rette? Non era la stessa cosa se anziche chiedere l'equazione del piano ortogonale a una retta del fascio chiedeva ortogonale al piano $x+2y+2z=1$?? o forse il piano che cerchiamo deve contenere il punto A?
Forse non conosci ancora la descrizione vettoriale
La retta è data da un punto ed un vettore, nel nostro caso:
$r: ((0),(0),(0)) + <((1),(1),(1))>$
Il piano è dato da un punto e due vettori:
$pi: ((1),(1),(-1)) + <((4),(-1),(-1)),((0),(1),(-1))>$
Il vettore che hai scritto tu, $((1),(2),(2))$ è quello normale al piano.
La questione dell'essere ortogonale ad una retta del fascio è banalmente esaudita da qualsiasi retta nel piano e quindi da qualsiasi piano formato da una retta del piano e dalla componente normale. Il nostro piano finale sarà quindi dato da:
$psi: ((0),(0),(0)) + <((1),(2),(2)),((4),(-1),(-1))> => y-z=0$
La retta è data da un punto ed un vettore, nel nostro caso:
$r: ((0),(0),(0)) + <((1),(1),(1))>$
Il piano è dato da un punto e due vettori:
$pi: ((1),(1),(-1)) + <((4),(-1),(-1)),((0),(1),(-1))>$
Il vettore che hai scritto tu, $((1),(2),(2))$ è quello normale al piano.
La questione dell'essere ortogonale ad una retta del fascio è banalmente esaudita da qualsiasi retta nel piano e quindi da qualsiasi piano formato da una retta del piano e dalla componente normale. Il nostro piano finale sarà quindi dato da:
$psi: ((0),(0),(0)) + <((1),(2),(2)),((4),(-1),(-1))> => y-z=0$
Ti ringrazio per la disponibilità e la pazienza.
Comunque, come fai a sapere che è proprio il vettore $((1),(2),(2))$ quello normale al piano?
Comunque, come fai a sapere che è proprio il vettore $((1),(2),(2))$ quello normale al piano?
Un vettore appartiene al piano $pi$ se e solo se annulla l'equazione del piano:
$x+2y+2z=0$
Ma questo puoi vederlo come il prodotto scalare tra questi due vettori:
$((1),(2),(2))*((x),(y),(z))=0$
Ma questo significa che un vettore appartiene al piano se e solo se è ortogonale al vettore $((1),(2),(2))$
Quindi, quando vedi un piano scritto in coordinate cartesiane, il vettore normale al piano sarà proprio quello dei coefficienti del piano stesso
$x+2y+2z=0$
Ma questo puoi vederlo come il prodotto scalare tra questi due vettori:
$((1),(2),(2))*((x),(y),(z))=0$
Ma questo significa che un vettore appartiene al piano se e solo se è ortogonale al vettore $((1),(2),(2))$
Quindi, quando vedi un piano scritto in coordinate cartesiane, il vettore normale al piano sarà proprio quello dei coefficienti del piano stesso
Sono stato dal professore e mi ha spiegato come lo farebbe lui.
Lui prende l'equazione parametrica di una retta generica, e impone che passi per il punto $A=(1,1,-1)$ in questo modo:
$\{(x = 1+ (l)t),(y = 1 + mt),(z = -1 + nt):}$ poi impone che questa retta generica A giaccia sul piano (quindi parallela al piano), quindi il vettore direzione della retta deve essere ortogonale al vettore normale al piano, in pratica pone $l + 2m + n2 = 0$, da cui $l=-2m -2n$, in questo modo ho l'equazione di una retta generica di centro A giacente sul piano.
Poi considera il piano da trovare e impone che la retta $r$ $\{(x - y = 0),(y - z = 0):}$ passi per quel piano, quindi pone $\lambda (x - y) + \mu(y - z) = 0$. Poi pone questo piano ortogonale al fascio di rette: $\{(-2m-2n=(\lambda)k),(m=(\mu-\lambda)k),(n=(-\mu)k):}$ sostituendo e svolgendo risulta $\lambda=0$, quindi l'eq del piano diventa $\mu(y - z)=0$ quindi $y - z = 0$.
E' abbastanza lungo come procedimento. Sto tentando di capire come hai fatto te, ho capito quasi tutto, mi resta da capire una volta ottenuta la componente parallela $((4),(-1),(-1))$ come fai a ricavare l'equazione $y - z = 0$
potresti scrivermi i passaggi??
Lui prende l'equazione parametrica di una retta generica, e impone che passi per il punto $A=(1,1,-1)$ in questo modo:
$\{(x = 1+ (l)t),(y = 1 + mt),(z = -1 + nt):}$ poi impone che questa retta generica A giaccia sul piano (quindi parallela al piano), quindi il vettore direzione della retta deve essere ortogonale al vettore normale al piano, in pratica pone $l + 2m + n2 = 0$, da cui $l=-2m -2n$, in questo modo ho l'equazione di una retta generica di centro A giacente sul piano.
Poi considera il piano da trovare e impone che la retta $r$ $\{(x - y = 0),(y - z = 0):}$ passi per quel piano, quindi pone $\lambda (x - y) + \mu(y - z) = 0$. Poi pone questo piano ortogonale al fascio di rette: $\{(-2m-2n=(\lambda)k),(m=(\mu-\lambda)k),(n=(-\mu)k):}$ sostituendo e svolgendo risulta $\lambda=0$, quindi l'eq del piano diventa $\mu(y - z)=0$ quindi $y - z = 0$.
E' abbastanza lungo come procedimento. Sto tentando di capire come hai fatto te, ho capito quasi tutto, mi resta da capire una volta ottenuta la componente parallela $((4),(-1),(-1))$ come fai a ricavare l'equazione $y - z = 0$
potresti scrivermi i passaggi??
Diciamo che il tuo professore ha un debole per il gioco dell'oca
Lo spazio che vogliamo esprimere in componenti cartesiane è dato dal vettore ortogonale al piano, dalla componente parallela al piano della retta e passa per il punto $((0),(0),(0))$:
$psi: ((0),(0),(0)) + <((1),(2),(2)),((4),(-1),(-1))> = ((0),(0),(0)) + alpha((1),(2),(2))+beta((4),(-1),(-1))=>$
$=> ((x),(y),(z))= ((alpha +4beta),(2alpha-beta),(2alpha-beta))=> ((alpha),(beta),(z))= ((x-4beta), (y-2alpha),(y))$
Quindi il piano è:
$y-z=0$
Lo spazio che vogliamo esprimere in componenti cartesiane è dato dal vettore ortogonale al piano, dalla componente parallela al piano della retta e passa per il punto $((0),(0),(0))$:
$psi: ((0),(0),(0)) + <((1),(2),(2)),((4),(-1),(-1))> = ((0),(0),(0)) + alpha((1),(2),(2))+beta((4),(-1),(-1))=>$
$=> ((x),(y),(z))= ((alpha +4beta),(2alpha-beta),(2alpha-beta))=> ((alpha),(beta),(z))= ((x-4beta), (y-2alpha),(y))$
Quindi il piano è:
$y-z=0$
Sospettavo avesse un debole per il gioco dell'oca, purtroppo mi ha impostato il suo modo di pensare, e quel metodo risolutivo che hai messo nell'ultimo messaggio penso di non averlo mai visto! Scusami, ma
1) y-z=0 lo ricavi da y=z, ma la x che fine fa? come fai a trovare che il coefficente della x è nullo?
2) dato che la retta passa anche per il punto (1,1,1), perchè hai scelto di usare l'origine per costruire il piano? mi verrebbe da pensare che non cambi niente usando il punto (1,1,1), sbaglio?
1) y-z=0 lo ricavi da y=z, ma la x che fine fa? come fai a trovare che il coefficente della x è nullo?
2) dato che la retta passa anche per il punto (1,1,1), perchè hai scelto di usare l'origine per costruire il piano? mi verrebbe da pensare che non cambi niente usando il punto (1,1,1), sbaglio?
1) Con questo "metodo" l'equazione cartesiana del piano viene a formarsi automaticamente nell'ultima riga, basta sostituire (ci vorrebbe un passaggio in più rispetto a quello che ho fatto io )
$((alpha),(beta),(z))= (((x+4y)/9), ((2x-y)/9),(2(x+4y)/9 -(2x-y)/9))=(((x+4y)/9), ((2x-y)/9),((9y)/9))=(((x+4y)/9), ((2x-y)/9),(y))$
2) Perché son pigro e sommare zero è più facile che sommare uno Prova a mostrarmi tu che non sarebbe cambiato niente
)$((alpha),(beta),(z))= (((x+4y)/9), ((2x-y)/9),(2(x+4y)/9 -(2x-y)/9))=(((x+4y)/9), ((2x-y)/9),((9y)/9))=(((x+4y)/9), ((2x-y)/9),(y))$
2) Perché son pigro e sommare zero è più facile che sommare uno
Prova a mostrarmi tu che non sarebbe cambiato niente
Ottimo ottimo grazie di tutto! e soprattutto della pazienza! Per curiosità, cosa fai nella vita per saper così bene ste cose?! e di dove sei? se sei veneto o friulano, sei assunto come insegnante di recupero! 
grazie di tutto! e soprattutto della pazienza! Per curiosità, cosa fai nella vita per saper così bene ste cose?! e di dove sei? se sei veneto o friulano, sei assunto come insegnante di recupero!
Casale sul Sile lo conosci? Se vuoi venire, volentieri 
Se vuoi venire, volentieri
Si, io sono di orsago, saranno 45 km! eventualmente il prossimo fine settimana saresti disponibile? lunedì 15 ho il compito, forse potrei aver bisogno di un ripasso, forse!
Cosa studi? Studi a Padova?
ingegneria meccanica a udine primo anno!
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