Problema di distanze tra rette & piani

[posso_83]

Ciao a tutti, mi chiamo christian e volevo porvi un problema che non mi è chiaro in alcune cose: potreste spiegarmi i calcoli che si fanno per trovare le distanze tra due rette e tra una retta ed un piano?

Il primo problema di distanza tra due rette pone: l'asse Oy e la retta di equazioni $\{(x + 2y -1 = 0),(2x + 2y+ z -4 = 0):}$

Il secondo problema di distanza pone: la retta $\{(x + 2y -1 = 0),(2x + 2y+ z -4 = 0):}$ ed il piano $\{(x + 4y -2z = 1):}$

Grazie a tutti per una eventuale risposta e se c'è qualcosa che non è chiaro ditemelo...grazie

[mistake89]

Osserva che per calcolare queste distanze le rette o retta-piano devono essere necessariamente paralleli, altrimenti non avrebbe senso (poichè questa distanza muterebbe di punto in punto!).

Ciò premesso nel primo caso basta prendere un punto $P$ a caso sulla retta $r$ e considerare il piano $alpha$ per $P$ perpendicolare all'asse $y$. Esso intersecherà l'asse y in un punto $Q$. Allora la $d(r,\assey)=d(P,Q)$ applicando la formula che immagino sia nota $sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2)$

Nel secondo caso la situazione è ancora più semplice. Esiste una formula che ci permette di calcolare agevolmente la distanza punto-piano. Se la retta è parallela al piano, ogni punto di $r$ è equidistante dal piano, pertanto considera un punto $P$ sulla retta e calcola la distanza $d(pi,P)=(|ax_0+by_0+cz_0+d|)/(sqrt(a^2+b^2+c^2))$ dove $a,b,c,d$ sono i coefficienti dell'equazione del piano, $(x_0,y_0,z_0)$ le coordinate del punto $P$.

Ora a te la parte più bella, i calcoli

[posso_83]

La distanza retta piano mi può andare benissimo, mentre la distanza retta-retta, non ho specificato che il mio vero problema è quello di ricondurmi all'equazione parametrica di entrambe le rette, che poi per il calcolo delle distanze utilizzano la formula delle matrici (che conosco bene).

Grazie mille mistake89 per la risposta e perdonate la mia grande ignoranza in materia

[mistake89]

Prova a guardare qui oppure a cercare nel forum, troverai decine di topic che spiegano come fare

[posso_83]

mi dicevi prima che per l'asse Oy dovevo prendere un punto qualsiasi...se potresti farmi un esempio, come scriveresti la sua equazione parametrica?

[mistake89]

Beh l'equazione parametrica dell'asse y è $\{(x=0),(y=t),(z=0):}$

[posso_83]

Grazie mille per avermi risolto questi dubbi della quale mi vergogno come un ladro a chiedere!!

Alla prossima

[cirasa]

"mistake89":Osserva che per calcolare queste distanze le rette o retta-piano devono essere necessariamente paralleli, altrimenti non avrebbe senso (poichè questa distanza muterebbe di punto in punto!).

Ciò premesso nel primo caso basta prendere un punto $P$ a caso sulla retta $r$ e considerare il piano $alpha$ per $P$ perpendicolare all'asse $y$. Esso intersecherà l'asse y in un punto $Q$. Allora la $d(r,\assey)=d(P,Q)$ applicando la formula che immagino sia nota $sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2)$

Ehi, Mistake, mi sa che stavolta hai preso un abbaglio!
Nel caso le due rette siano parallele, allora va bene il tuo metodo di risoluzione.
Ma se non sono parallele, forse con "distanza fra le due rette" forse si intende minima distanza fra rette sghembe...

Credo proprio che nel primo esercizio si richieda la minima distanza fra l'asse $y$ e la retta $r:\{(x + 2y -1 = 0),(2x + 2y+ z -4 = 0):}$ che dovrebbero essere sghembe.

Quindi, per la risoluzione di questa parte, chiedo a "posso_83" di cercare un po' sul forum "distanza fra rette sghembe".
Ci sono vari thread che trattano questo argomento.

[mistake89]

Hai ragione, ma non avevo controllato affatto se lo fossero o no (infatti l'avevo scritto come premessa). Comunque hai fatto benissimo a specificare

[mistake89]

Per farmi perdonare linko qui una discussione in cui spiego come costruire geometricamente tale retta.
Chiedo pure scusa all'utente per essere stato frettoloso nella risposta!