Problema di algebra lineare

[Marco241]

In $ cc(R) ^3 $ trovare una base ortonormale contraversa alla base canonica sapendo che $v'_1=(1/(sqrt(3)),1/(sqrt(3)),1/(sqrt(3)))$,che $v'_2$ deve appartenere al sottospazio $W: x_1+x_2-2x_3=0$ e che $v'_2$, $e_1$ formano un angolo acuto

Di questo problema ho capito tutto tranne che quel pezzo finale "formano un angolo acuto"

In pratica dovrei ricavare un terzo vettore conoscendone due più l'angolo tra essi compreso...dritte?

[Sk_Anonymous]

Mmm... Dunque: si sa che \[\displaystyle \cos \theta =\begin{cases} \frac{| \langle x,y \rangle |}{|x||y|} & 0 \le \theta < \pi/2 \\ -\frac{| \langle x,y \rangle |}{|x||y|} & \pi/2 \le \theta \le \pi \end{cases}\] siccome vogliamo \(\displaystyle 0 \le \theta < \pi/2 \), sarà \[\displaystyle \frac{| \langle x,y \rangle |}{|x||y|} < 1 \] cioè \[\displaystyle |x_{1}| < \sqrt{x_{1} ^2 + x_{2} ^2 + x_{3} ^2 } \] ossia \[\displaystyle x_{2}^2 + x_{3} ^ 2 > 0 \]
Quindi, se non ho fatto qualche ca***ta, dovrebbe essere sufficiente prendere un altro vettore ortonormale ai primi due. La condizione "angolo acuto con \(\displaystyle e_{1} \)" sembra voler suggerire proprio questo.

[Marco241]

"Delirium":Mmm... Dunque: si sa che \[\displaystyle \cos \theta =\begin{cases} \frac{| \langle x,y \rangle |}{|x||y|} & 0 \le \theta < \pi/2 \\ -\frac{| \langle x,y \rangle |}{|x||y|} & \pi/2 \le \theta \le \pi \end{cases}\] siccome vogliamo \(\displaystyle 0 \le \theta < \pi/2 \), sarà \[\displaystyle \frac{| \langle x,y \rangle |}{|x||y|} < 1 \] cioè \[\displaystyle |x_{1}| < \sqrt{x_{1} ^2 + x_{2} ^2 + x_{3} ^2 } \] ossia \[\displaystyle x_{2}^2 + x_{3} ^ 2 > 0 \]
Quindi, se non ho fatto qualche ca***ta, dovrebbe essere sufficiente prendere un altro vettore ortonormale ai primi due. La condizione "angolo acuto con \(\displaystyle e_{1} \)" sembra voler suggerire proprio questo.

Aspetta non ho capito come fai a passare dal secondo passaggio al terzo...Cioè come fai a togliere la y e a ottenere tutto in x???

La distinzione delle due possibilità del coseno l'avevo intuita....

Ma non è che lo risolvo applicando il teorema di completamento di una base???A volte penso che quella frase finale manda fuori strada...

[Sk_Anonymous]

Avevo posto implicitamente \(\displaystyle x=v_{3} '=(x_{1},x_{2},x_{3})^t \) e \(\displaystyle y=e_{1}=(1,0,0)^t \). Concorderai con me che \(\displaystyle \langle v_{3}' , e_{1} \rangle= x_{1} \) e che \(\displaystyle \|v_{3} ' \|= \sqrt{x_{1} ^2 + x_{2} ^2 + x_{3} ^3} \) mentre \(\displaystyle \|e_{1}\|=1 \) (nel messaggio precedente sono stato un po' incoerente con le notazioni... Ho indicato la norma con \(\displaystyle |\cdot | \), ma spesso si fa). Dall'avere \[\displaystyle | \langle v_{3} ' , e_{1} \rangle |< \|v_{3} ' \| \cdot \|e_{1} \| \] deriva \[\displaystyle |x_{1} | < \sqrt{x_{1}^2 + x_{2} ^2 + x_{3} ^2 } \] e sfruttando la "monotonia dell'elevamento al quadrato" si ha \[\displaystyle x_{1} ^ 2 < x_{1} ^2 + x_{2} ^2 + x_{3} ^2 \] cioè \[\displaystyle x_{2} ^2 + x_{3} ^2 > 0 \] verificata per ogni \(\displaystyle x_{1}, \ x_{2} \ne 0, \ x_{3} \ne 0 \).

[vittorino70]

Alle note di Delirium aggiungerei anche la costruzione esplicita della base ortonormale richiesta ( Presumo sia questo l'interesse principale di Marco ).
Per semplicità pongo : \(\displaystyle v'_2=^t(a,b,c) \). Per ipotesi è :
\(\displaystyle \begin{cases}|v'_2|=1\\ =0\\v'_2\in \pi\end{cases} \)
dove \(\displaystyle \pi \) è il piano dato di equazione \(\displaystyle x_1+x_2-2x_3=0\)
Passando ai calcoli si ha il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}a^2+b^2+c^2=1\\ \frac{a}{\sqrt3} +\frac{b}{\sqrt3}+\frac{c}{\sqrt3}=0\\a+b-2c=0\end{cases} \)
le cui soluzioni sono :
\(\displaystyle a=\pm\frac{1}{\sqrt2},b=\mp\frac{1}{\sqrt2},c=0 \)
Per decidere sul segno da scegliere osservo che ,indicando con \(\displaystyle \alpha \) l'angolo tra
\(\displaystyle v'_2,e_1 \), risulta:
\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{}{|v'_2|\cdot|e_1|} =\pm\frac{1}{\sqrt2}\)
Poiché \(\displaystyle \alpha \) è acuto deve essere \(\displaystyle \cos\alpha>0 \) e dunque occorre prendere i segni superiori:
\(\displaystyle v'_2=\left(\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2},0 \right) \)
Per avere \(\displaystyle v'_3 \) basta osservare che :
\(\displaystyle v'_3=-(v'_1 \wedge v'_2) \) dove il simbolo "\(\displaystyle \wedge \)" è quello di prodotto vettore. Facendo i relativi calcoli si ottiene che :
\(\displaystyle v'_3=\left (-\frac{1}{\sqrt6},-\frac{1}{\sqrt6},\frac{2}{\sqrt6} \right) \)
La base richiesta è allora : \(\displaystyle ( v'_1,v'_2,v'_3 ) \)

[Marco241]

Aspetta Vittorino70 una delucidazione:tra i due prodotti vettoriali di $v'_1$ e $v'_2$ scegli quello negativo perchè rispetta la condizione di ortonormalità giusto?

Facendo i calcoli sia il prodotto vettoriale positivo e negativo tra $v'_1$ e $v'_2$ rispettano la condizione di ortonormalità...perchè questa preferenza???

aspè che mi sa che ho capito...

Hai scelto il prodotto vettoriale negativo perchè in questo modo la base è contraversa alla base canonica come richiesto dal problema.