Problema di algebra! distanza minima tra superficie e punto
scusate qualcuno saprebbe darmi una traccia di svolgimento per questo quesito non riesco a trovare una soluzione!
DETERMINA almeno un punto della superficie di equazione $ z= x^2 +y^2 $ che abbia distanza minima dal punto A(0 1 0)
calcolare punto richiesto? e dire quante soluzioni?
grazie
DETERMINA almeno un punto della superficie di equazione $ z= x^2 +y^2 $ che abbia distanza minima dal punto A(0 1 0)
calcolare punto richiesto? e dire quante soluzioni?
grazie
Risposte
Come è fatto un punto generico della superficie data? Calcolane la distanza dal punto fissato e determinane un minimo.
l'unica cosa che abbiamo trovato è che la funzione ha minimo in (0 0) non riusciamo a trovare un punto generico che appartenga al paraboloide, che abbia minima distanza da A( 0 1 0 )
Ripeto la domanda: come sono fatte, in generale, le coordinate di un punto di quel paraboloide?
Il minimo di quella funzione non serve a molto, oltre ad essere abbastanza ovvio. Non è infatti [tex]z[/tex] che devi minimizzare, ma la distanza da [tex]A[/tex]. In realtà conviene usare la distanza al quadrato perché elimini una radice quadrata nella formula e il minimo rimane comunque lo stesso. Com'è quindi fatta la distanza al quadrato tra un punto della superficie e [tex]A[/tex] (sostituisci le coordinate di un punto della superficie nella formula per trovare la distanza al quadrato dal punto)?
"apatriarca":
Il minimo di quella funzione non serve a molto, oltre ad essere abbastanza ovvio. Non è infatti [tex]z[/tex] che devi minimizzare, ma la distanza da [tex]A[/tex]. In realtà conviene usare la distanza al quadrato perché elimini una radice quadrata nella formula e il minimo rimane comunque lo stesso. Com'è quindi fatta la distanza al quadrato tra un punto della superficie e [tex]A[/tex] (sostituisci le coordinate di un punto della superficie nella formula per trovare la distanza al quadrato dal punto)?
E perché, io cosa gli avevo detto di fare?
Ma non mi riferivo a te quando ho detto che trovare il minimo di quella funzione non serve a molto, ma alla seguente frase di matteo:
Il metodo da te suggerito è ovviamente uguale al mio, stavo cercando di aggiungere qualche dettaglio in più sul come usare il tuo suggerimento.
l'unica cosa che abbiamo trovato è che la funzione ha minimo in (0 0)
Il metodo da te suggerito è ovviamente uguale al mio, stavo cercando di aggiungere qualche dettaglio in più sul come usare il tuo suggerimento.
Lo so. Il problema è che loro non hanno idea di quale sia la coordinata di un generico punto della superficie.
il mio punto generico della mia superficie è P(x, y, x^2 +y^2) faccio la distanza AP come dici tu elevo al quadrato e mi cerco una soluzione sfruttando la ricerca di minimi per una funzione a due variabili, l'unico problema è che mi viene un risultato non coerente con il grafico, cioe mi viene il punto (-1/2, -1/2, 1/2), grazie per la cortesia
La funzione per la distanza è
[tex]$d(x,y)=\sqrt{x^2+(y-1)^2+z^2}=\sqrt{x^2+y^2-2y+1+(x^2+y^2)^2}=\sqrt{x^4+y^4+2x^2 y^2+x^2+y^2-2y+1}$[/tex]
Per studiarne massimi e minimi basta verificare cosa accade alla funzione [tex]$f(x,y)=x^4+y^4+2x^2 y^2+x^2+y^2-2y+1$[/tex], tenendo presente che deve essere [tex]$z=x^2+y^2\ge 0$[/tex]. Abbiamo
[tex]$f_x=4x^3+4xy^2+2x=0,\ \ f_y=4y^3+4x^2 y+2y-2=0\ \Rightarrow\ 2x(2x^2+2y^2+1)=0,\quad 2y^3+2x^2 y+y-1=0$[/tex]
L'unica soluzione per la prima equazione è [tex]$x=0$[/tex] che sostituito nella seconda porta a [tex]$2y^3+y-1=0$[/tex].
Quest'ultima equazione ammette una sola soluzione in un punto [tex]$\alpha\in(0,1)$[/tex]: infatti la funzione [tex]$h(y)=2y^3+y-1$[/tex] ha come dominio tutto l'asse reale, [tex]$\lim_{y\to\pm\infty}h(y)=\pm\infty$[/tex] ed essendo [tex]$h'(y)=6y^2+1>0$[/tex] risulta sempre monotona strettamente crescente: per il teorema di esistenza degli zeri essa interseca l'asse delle ascisse in un solo punto ed essendo [tex]$h(0)=-1<0,\ h(1)=2>0$[/tex] tale punto si trova nell'intervallo [tex]$(0,1)$[/tex] in cui la funzione cambia segno.
Se calcoliamo la matrice Hessiana nel punto [tex]$P(0,\alpha)$[/tex] abbiamo
[tex]$H(0,\alpha)=\left|\begin{array}{ccc}
(12x^2+4y^2+2)|_{(0,\alpha)} & & (8xy)|_{(0,\alpha)}\\ & & \\ (8xy)|_{(0,\alpha)} & & (12y^2+4x^2+2)|_{(0,\alpha)}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
4\alpha^2+2 & & 0\\ & & \\ 0 & & 12\alpha^2+2
\end{array}\right|=(4\alpha^2+2)(12\alpha^2+2)>0$[/tex]
pertanto il punto [tex]$(0,\alpha)$[/tex] è un minimo per la funzione [tex]$f(x,y)$[/tex] ed è l'unico. Ne segue che la distanza dal punto [tex]$A$[/tex] è minima per il punto [tex]$P(0,\alpha,\alpha^2)$[/tex].
P.S.: si poteva fare anche una considerazione geometrica che semplificasse i calcoli: dal momento che il punto $A$ si trova nel piano $yOz$, a causa della simmetria del paraboloide, necessariamente il punto che ha minima distanza si deve trovare nello stesso piano, e quindi avere coordinate del tipo [tex]$(0,y,y^2)$[/tex].
[tex]$d(x,y)=\sqrt{x^2+(y-1)^2+z^2}=\sqrt{x^2+y^2-2y+1+(x^2+y^2)^2}=\sqrt{x^4+y^4+2x^2 y^2+x^2+y^2-2y+1}$[/tex]
Per studiarne massimi e minimi basta verificare cosa accade alla funzione [tex]$f(x,y)=x^4+y^4+2x^2 y^2+x^2+y^2-2y+1$[/tex], tenendo presente che deve essere [tex]$z=x^2+y^2\ge 0$[/tex]. Abbiamo
[tex]$f_x=4x^3+4xy^2+2x=0,\ \ f_y=4y^3+4x^2 y+2y-2=0\ \Rightarrow\ 2x(2x^2+2y^2+1)=0,\quad 2y^3+2x^2 y+y-1=0$[/tex]
L'unica soluzione per la prima equazione è [tex]$x=0$[/tex] che sostituito nella seconda porta a [tex]$2y^3+y-1=0$[/tex].
Quest'ultima equazione ammette una sola soluzione in un punto [tex]$\alpha\in(0,1)$[/tex]: infatti la funzione [tex]$h(y)=2y^3+y-1$[/tex] ha come dominio tutto l'asse reale, [tex]$\lim_{y\to\pm\infty}h(y)=\pm\infty$[/tex] ed essendo [tex]$h'(y)=6y^2+1>0$[/tex] risulta sempre monotona strettamente crescente: per il teorema di esistenza degli zeri essa interseca l'asse delle ascisse in un solo punto ed essendo [tex]$h(0)=-1<0,\ h(1)=2>0$[/tex] tale punto si trova nell'intervallo [tex]$(0,1)$[/tex] in cui la funzione cambia segno.
Se calcoliamo la matrice Hessiana nel punto [tex]$P(0,\alpha)$[/tex] abbiamo
[tex]$H(0,\alpha)=\left|\begin{array}{ccc}
(12x^2+4y^2+2)|_{(0,\alpha)} & & (8xy)|_{(0,\alpha)}\\ & & \\ (8xy)|_{(0,\alpha)} & & (12y^2+4x^2+2)|_{(0,\alpha)}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
4\alpha^2+2 & & 0\\ & & \\ 0 & & 12\alpha^2+2
\end{array}\right|=(4\alpha^2+2)(12\alpha^2+2)>0$[/tex]
pertanto il punto [tex]$(0,\alpha)$[/tex] è un minimo per la funzione [tex]$f(x,y)$[/tex] ed è l'unico. Ne segue che la distanza dal punto [tex]$A$[/tex] è minima per il punto [tex]$P(0,\alpha,\alpha^2)$[/tex].
P.S.: si poteva fare anche una considerazione geometrica che semplificasse i calcoli: dal momento che il punto $A$ si trova nel piano $yOz$, a causa della simmetria del paraboloide, necessariamente il punto che ha minima distanza si deve trovare nello stesso piano, e quindi avere coordinate del tipo [tex]$(0,y,y^2)$[/tex].
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