Problema di algebra
stò iniziando a fare alcuni esercizi di algebra....chi mi può aiutare a risolvere questo compito?
Sia S = [(2; 1;-1); (1; 0;-1); (2; 0; 0); (2; 0; 2); (0; 1; 3)]. Giusticando le risposte si dica:
(i) Se S è un sistema di generatori di R3.
(ii) Se S contiene una base di R3. In caso affermativo si dia un esempio di base B contenuta in S.
(iii) Utilizzando la base B, dopo averla ordinata a piacere, stabilire quali sono le componenti degli altri
due vettori di S rispetto a B.
(iv) Qual'è il vettore di R3 di componenti 2;-1; 2 nella base B ?
Sia S = [(2; 1;-1); (1; 0;-1); (2; 0; 0); (2; 0; 2); (0; 1; 3)]. Giusticando le risposte si dica:
(i) Se S è un sistema di generatori di R3.
(ii) Se S contiene una base di R3. In caso affermativo si dia un esempio di base B contenuta in S.
(iii) Utilizzando la base B, dopo averla ordinata a piacere, stabilire quali sono le componenti degli altri
due vettori di S rispetto a B.
(iv) Qual'è il vettore di R3 di componenti 2;-1; 2 nella base B ?
Risposte
chi mi può aiutare a risolvere questo compito?
[mod="Steven"]Sarebbe opportuno, dato lo spirito del forum, che tu proponessi un tuo contributo.[/mod]
Per la prima ad esempio, prova a prendere un generico vettore di $RR^3$ e vedi se è possibile esprimerlo come comb. lineare di quei cinque.
O potrebbe pure essere il caso che fai direttamente prima il ii).
Sicuramente ci sono 2 vettori da scartare, perchè in uno spazio di dimensione $n$ un insieme libero ha al massimo $n$ vettori.
Prova tu.
Ciao.
ok,grazie
quindi sicuramente non è un sistema di generatori in quanto siamo in R^3...
"carminiello84":
quindi sicuramente non è un sistema di generatori in quanto siamo in R^3...
No, non è corretto.
Puoi dire che sicuramente non è una base, perché siamo in uno spazio di dimensione tre.
Per definizione di dimensione, se essa vale $n$, la base dovrà avere $n$ vettori.
Qua abbiamo 5 vettori, e non 3, ma c'è la possibilità che si può ottenere una base, scartandone due superflui, cioè combinazione lineare degli altri.
Ad esempio, si vede facilmente che se moltiplichi il quarto per $1/2$ e poi sommi al secondo, ottieni il terzo.
$1/2*(2,0,2)+(1,0,-1)=$
$=(1,0,1)+(1,0,-1)=(2,0,0)$.
Quindi puoi levare $(2,0,0)$ dallo spazio.
Per trovare l'altro (o gli altri 2, non so) intruso che è comb. lineare dell'altro, puoi procedere per tentativo, oppure prendere 3 vettori dei 4 e metterli in una matrice 3x3. Se il det è 0, allora puoi scartare uno dei 3 vettori.
Ad ogni modo, penso che sia indispensabile che tu ti guardi un po' di teoria, almeno le definizioni portanti e i teoremini annessi.
A presto.
infinitamente grazie
quindi ho una base che è costituita da (2,1,-1);(1,0,-1);(0,1,3)
Per gli altri punti non ho capito bene...vi ringrazio per le eventuali risposte
Per gli altri punti non ho capito bene...vi ringrazio per le eventuali risposte
non mi torna... $(2,1,-1)+(-(0,1,3))=(2,0,-4)$
piuttosto una base di $R^3$ è composta da tre vettori linearmente indipententi. quindi un altra via per dimostrare che questa è una base è appunto vedere se sono vettori linearmente indipendenti. no? prova a vedere se ti viene.
piuttosto una base di $R^3$ è composta da tre vettori linearmente indipententi. quindi un altra via per dimostrare che questa è una base è appunto vedere se sono vettori linearmente indipendenti. no? prova a vedere se ti viene.
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