Problema decomposizione LU

[IlRosso1]

Buongiorno a tutti! Sto svolgendo alcuni esercizi sulla decomposizione LU in previsione dell'esame ma ce n'è uno che mi sta dando alcuni problemi. Premetto che il mio professore vorrebbe che, dopo avere eseguito la Eliminazione di Gauss, i pivot di ogni riga fossero 1..ed è proprio qui che sorge il mio problema.
La matrice in questione è la seguente:

$ A_alpha = ( ( alpha , 3 , 0 , -1 , 3 ),( alpha+1 , alpha+1 , 1 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , alpha+1 , 1 ) ) $

Inizio con la EG:

Passo 1 = $ E_11(1/alpha) $

$ A_alpha = ( ( 1 , 3/alpha , 0 , -1/alpha , 3/alpha ),( alpha+1 , alpha+1 , 1 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , alpha+1 , 1 ) ) $

Passo 2 = $ E_22(1/(alpha+1)) $

$ A_alpha = ( ( 1 , 3/alpha , 0 , -1/alpha , 3/alpha ),( 1 , 1 , 1/(alpha+1) , 0 , 1/(alpha+1) ),( 1 , 0 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , alpha+1 , 1 ) ) $

Passo 3 = $ E_21(-1) $

$ A_alpha = ( ( 1 , 3/alpha , 0 , -1/alpha , 3/alpha ),( 0 , (alpha-3)/alpha , 1/(alpha+1) , 1/alpha , (-3-2*alpha)/(alpha*(alpha+1)) ),( 1 , 0 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , alpha+1 , 1 ) ) $

Qui sorge il mio problema: ora la seconda riga non è più modificabile e il pivot non è 1. Come posso fare? Forse non è possibile trasformalo in 1 o sono io che faccio qualche errore?

[Emar1]

Ma perchè non è più modificabile? Non puoi moltiplicare la seconda riga per $\frac{\alpha}{\alpha - 3}$ in modo da ottenere $1$?

Forse non ho capito il problema...