Problema con superfici di rotazione
Buon giorno. Ho questo problema sulle superfici di rotazione: data la retta $r: \{(3x-2z+3=0),(5x-2y+3=0):}$ e $s$ la retta per $P=(-1,1,2)$ e avente vettore direttore $v=2i+j-k$. Sia $Sigma$ la superficie di rotazione della retta $r$ attorno alla retta $s$. Determinare i piani che tagliano $Sigma$ lungo un parallelo di raggio $2sqrt(2)$.
Prima di tutto scrivo la retta $s$ in forma parametrica: $s: \{(-1+2t),(1+t),(2-t):}$.
L'idea è di scrivere un fascio di piani che intersecano la superficie $Sigma$, calcolare l'intersezione tra "l'asse", ovvero la retta s e il fascio chiamato punto $Q$, imporre che il raggio del parallelo sia quello desiderato. Il problema è che non capisco come imporre trovare il raggio, perché non conosco il punto sulla superficie con cui costruire il vettore che lo congiunge al punto $Q$.
Se l'idea è corretta, potreste darmi un suggerimento per l'ultimo punto?
Prima di tutto scrivo la retta $s$ in forma parametrica: $s: \{(-1+2t),(1+t),(2-t):}$.
L'idea è di scrivere un fascio di piani che intersecano la superficie $Sigma$, calcolare l'intersezione tra "l'asse", ovvero la retta s e il fascio chiamato punto $Q$, imporre che il raggio del parallelo sia quello desiderato. Il problema è che non capisco come imporre trovare il raggio, perché non conosco il punto sulla superficie con cui costruire il vettore che lo congiunge al punto $Q$.
Se l'idea è corretta, potreste darmi un suggerimento per l'ultimo punto?
Risposte
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Se non ho sbagliato conti, Ho verificato che le due rette sono sghembe, quindi è un iperboloide ad una falda.
Il fascio di piani deve contenere la retta $r$, quindi sarà: $h(3x-2z+3)+k(5x-2y+3)=0$ con $(h,k)!=(0,0)$.
Il fascio di piani deve contenere la retta $r$, quindi sarà: $h(3x-2z+3)+k(5x-2y+3)=0$ con $(h,k)!=(0,0)$.
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Ho scritto $s$ in forma cartesiana: $\{(3x-2z+3=0),(5x-2y+3=0):}$, ho calcolato il rango della matrice incompleta e poi della matrice completa. La prima ha rango 3, la seconda 4. Da lì ho derivato che le rette sono sghembe.
Per il fascio di piani è corretto usare la retta s?
Per il fascio di piani è corretto usare la retta s?
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Il fascio proprio contente la retta s è $h(x-2y+3)+k(y+z-3)=0$ con $(h,k)!=(0,0)$
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Allora, un parallelo si ottiene intersecando un piano ortogonale alla retta che fa da asse, mentre il meridiano si ottiene dai piani passanti per l'asse. Quindi il piano deve avere la direzione della retta r.
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Ok, credo di aver capito, stavo immaginando la retta r ortogonale ad s, mentre non lo è. Quindi il piano è ortogonale sia ad s che ad r. Ma quale delle due rette scegliere? Io sceglierei la retta s, quindi la direzione del piano è ortogonale al vettore direttore della retta s.
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Perdonami, ma non mi è chiarissimo. Se c'è un piano che interseca la superficie, su quel piano dovrà esserci un parallelo, e per questo piano passerà la retta r. E' ragionevole che io prenda la direzione ortogonale della retta, e dare questa direzione al piano.
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Se i piani devono essere normali all'asse di rotazione che è s, deve avere direzione ortogonale ad s.
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Il fascio è improprio: $6y+4z+k=0$
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Ho fatto un errore scemo nel calcolo, dovrebbe essere giusto questo: $-4x-10y-6z+k=0$
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Scusami, ma come faccio allora a determinarlo?
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