Problema con superfici di rotazione
Buon giorno. Ho questo problema sulle superfici di rotazione: data la retta $r: \{(3x-2z+3=0),(5x-2y+3=0):}$ e $s$ la retta per $P=(-1,1,2)$ e avente vettore direttore $v=2i+j-k$. Sia $Sigma$ la superficie di rotazione della retta $r$ attorno alla retta $s$. Determinare i piani che tagliano $Sigma$ lungo un parallelo di raggio $2sqrt(2)$.
Prima di tutto scrivo la retta $s$ in forma parametrica: $s: \{(-1+2t),(1+t),(2-t):}$.
L'idea è di scrivere un fascio di piani che intersecano la superficie $Sigma$, calcolare l'intersezione tra "l'asse", ovvero la retta s e il fascio chiamato punto $Q$, imporre che il raggio del parallelo sia quello desiderato. Il problema è che non capisco come imporre trovare il raggio, perché non conosco il punto sulla superficie con cui costruire il vettore che lo congiunge al punto $Q$.
Se l'idea è corretta, potreste darmi un suggerimento per l'ultimo punto?
Prima di tutto scrivo la retta $s$ in forma parametrica: $s: \{(-1+2t),(1+t),(2-t):}$.
L'idea è di scrivere un fascio di piani che intersecano la superficie $Sigma$, calcolare l'intersezione tra "l'asse", ovvero la retta s e il fascio chiamato punto $Q$, imporre che il raggio del parallelo sia quello desiderato. Il problema è che non capisco come imporre trovare il raggio, perché non conosco il punto sulla superficie con cui costruire il vettore che lo congiunge al punto $Q$.
Se l'idea è corretta, potreste darmi un suggerimento per l'ultimo punto?
Risposte
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Già, il vettore normale al piano è lo stesso vettore che fa da direttore alla retta s.
Quindi il fascio sarà: $2x+y-z+k=0$
Il conto che ho fatto, dimenticando che avevo la retta s in forma parametrica, è ricavare il vettore normale a partire dall'equazione cartesiana
Quindi il fascio sarà: $2x+y-z+k=0$
Il conto che ho fatto, dimenticando che avevo la retta s in forma parametrica, è ricavare il vettore normale a partire dall'equazione cartesiana
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Adesso, su questo piano bisogna individuare una circonferenza e imporre che il raggio sia $2sqrt(2)$. Per farlo, bisogna avere il centro, che sarà l'intersezione tra il fascio è la retta s, e un punto per avere il raggio, che dovrà appartenere alla retta r
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Ok, il centro, in funzione di k è: $C=((k-9)/3,k/6,(k+9)/6)$
Supponiamo il punto sulla retta r abbia coordinate $P=(x_p,y_p,z_p)$.
Allora dovrò scrivere che $\{(x_p-x_c=R),(y_p-y_c=R),(z_p-z_c=R):}$ e nello stesso sistema aggiungere l'appartenenza del punto P alla retta r, giusto?
Supponiamo il punto sulla retta r abbia coordinate $P=(x_p,y_p,z_p)$.
Allora dovrò scrivere che $\{(x_p-x_c=R),(y_p-y_c=R),(z_p-z_c=R):}$ e nello stesso sistema aggiungere l'appartenenza del punto P alla retta r, giusto?
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Perfetto, ci sono. Facendo i conti viene fuori $k= +-3$. Quindi i fasci sono: $2x+y-z+1/3=0$ e $2x+y-z-1/3=0$.
Ti ringrazio di cuore per l'aiuto e la pazienza che hai avuto nell'aiutarmi. Nonostante il thread lungo, ce l'abbiamo fatta!
Ti ringrazio di cuore per l'aiuto e la pazienza che hai avuto nell'aiutarmi. Nonostante il thread lungo, ce l'abbiamo fatta!
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Perdona, volevo scrivere chiaramente $2x+y-z+3=0$ e $2x+y-z-3=0$
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