Problema con sfera

[oleg.fresi]

Ho questo problema: determinare l’equazione cartesiana e successivamente le equazioni parametriche della sfera
tangente al piano $π : 3y − 2z + 3 = 0$ nel punto $P = (−1,−1,0)$ ed avente centro sul piano $π′ : 3x+y+2z+5=0$

Il procedimento a cui ho pensato è questo: per trovare l'equazione mi serve trovare il centro e il raggio. Una volta noto il centro, per avere il raggio calcolo la distanza dal punto di tangenza al centro oppure la distanza dal punto di tangenza al piano $pi'$ dovrebbe essere la stessa cosa. Per trovare il centro invece, uso il vettore normale al piano $pi'$ come direttore della retta ortogonale al piano, trovata la retta la interseco col piano e il punto d'intersezione è il centro. Ho svolto tutti i calcoli, ma non conoscendo la soluzione, chiedo a voi se il procedimento è corretto.

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Cerco di capire: se dici che in $P$ i vettori normali sono paralleli, allora la normale al piano di tangenza può dare la direzione alla retta che intersecando il piano $pi'$ determina il centro. E' corretto?

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Bene, ma come trovo C, visto che in generale i due piani non sono paralleli, tanto meno questi due che abbiamo?

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Ok, adesso mi è chiaro. Per imporre il parallelismo faccio così: il vettore normale a $pi$ è $n=(0,3,-2)$ mentre il vettore $P-C$ ha componenti $P-C=(-1-x_c, -1-y_c,-z_c)$ e impongo che il determinante $|(i, j, k),(0,3,-2),(-1-x_c, -1-y_c, -z_c)| = 0$. Così trovo il vettore $(-3z_c-2-2y_c, 2+2x_x, 3+3x_c)$ e lo uguaglio al vettore nullo. Così ottengo un sistema di 3 equazioni in 3 incognite: $\{(-3z_c-2y_c-2=0),(2+2x_c=0),(3+3x_c=0):}$
il problema è che non ho sufficienti informazioni per trovare i valori delle incognite.

[j18eos]

Ricordati dove si trova il centro della sfera...

P.S.: non ho controllato il resto dei calcoli, chiedo venia!

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Ok, ci dovrei essere, imponendo l'appartenenza del centro al piano $pi'$ trovo come valori del centro, se non sbaglio i conti, $C=(-1, -10/7, -2/7)$. Il motivo per cui uso il determinante, è che so essere la definizione "algebrica" di prodotto vettoriale, che è la prima operazione che mi è venuta in mente per imporre l'ortogonalità. In fine il raggio lo trovo tranquillamente con la distanza tra C e P.

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Perfetto, grazie mille per l'aiuto!