Problema con risoluzione di un sistema lineare

[Manugal]

Ciao a tutti... e buon anno!!

Ho questo esercizio:

Sia $f$ l'endomorfismo di $RR^3$ associato, rispetto alla base canonica, alla matrice:

$A=[(1,0,0),(-1,1,-1),(-1,0,0)]$

Qui il polinomio caratteristico è $-\lambda(1-\lambda)^2$, quindi gli autovalori sono $\lambda_1=\lambda_2=1$ e $\lambda_3=0$. La $dimV_1=2$. Poi il libro continua dicendo:".. essendo $B={(5,3,1),(1,0,0)}$ una base di $V_1$. Io ho provato a risolvere l'equazione relativa all'autospazio $V_1$ ma non mi viene per niente così. Come ha fatto? Grazie.

[Manugal]

Ecco e quest'altro autovettore l'hai trovato risolvendo il sistema?

[Domè891]

bene...
alla fine d ciò, mi sa ke è il libro ad aver sbagliato...

P.s. grazie franced per le info... fanno sempre piacere queste cose

[franced]

"Manugal":Ecco e quest'altro autovettore l'hai trovato risolvendo il sistema?

Per trovare gli autovettori basta che tu ti risolva il sistema lineare $(A-lambda I) v = 0$;
questo sistema ha ovviamente infinite soluzioni, visto che $lambda$ è un autovalore.

Ottieni, nel tuo caso specifico, un sistema la cui unica equazione indipendente è: $x+z=0$.

Francesco Daddi

[MikeB1]

Scusate ma per esempio il vettore $v=[2,3,-2]^T$ è autovettore relativo all'autovalore $\lambda=1$...La dimensione di $V_1$ è 2 ma non è che $V_1$ è composto da solo due vettori!

[franced]

"MikeB":Scusate ma per esempio il vettore $v=[2,3,-2]^T$ è autovettore relativo all'autovalore $\lambda=1$...La dimensione di $V_1$ è 2 ma non è che $V_1$ è composto da solo due vettori!

Certo, ne esistono infiniti. Quelli che ho dato io sono una base per l'autospazio.

Basta che sia rispettata la condizione $x+z=0$; in pratica la prima e l'ultima componente
devono essere opposte;
anche il vettore $(-4;7;4)$ è autovettore relativo all'autovalore $lambda = 1$.

Francesco Daddi

[MikeB1]

"Manugal":Allora nel mio esempio dato che la dimensione di $V_1$ è 2 gli autovettori saranno (0,1,0) e l'altro qual'è?

Mi sembrava di capire dal post sopra che Manugal avesse qualche dubbio...per questo l'ho specificato!:)

Ciao

[Manugal]

Ok ora è chiaro. Diciamo che la tua è solo una "furbata" per trovare un autovettore . Per l'altro comunque devo risolvere il sistema. Grazie.

[franced]

"Manugal":Ok ora è chiaro. Diciamo che la tua è solo una "furbata" per trovare un autovettore . Per l'altro comunque devo risolvere il sistema. Grazie.

Credi che le "furbate" non facciano parte della matematica?
La matematica è piena di "furbate"!

Francesco Daddi