Problema con matrice diagonalizzante
ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio:
"Si consideri la matrice Ak \( \begin{pmatrix} k & 1 & 0 \\ 4 & k & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \) , dove k è un parametro reale. Si determinino:
- i valori di k per cui Ak è diagonalizzabile
- posto k=4, una matrice D diagonale simile ad A4 e la relativa teoria diagonalizzante P"
svolgimento:
per il primo punto faccio la cerco gli autoalori di Ak, faccio la matrice \( \begin{pmatrix} k-\lambda & 1 & 0 \\ 4 & k-\lambda & 0 \\ 2 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} \) e arrivo ad avere $(2-\lambda)[(k-\lambda)-4]$va sviluppato per togliere il $-$ ma mi si crea un calcolo impossibile
per il secondo punto, metto gli autovalori trovati sulla diagonale (e altrove metto 0) e trovo D, per p... so la teoria, ma i calcoli non tornano mai, qualcuno potrebbe farmi vedere nel dettaglio gli svolgimenti senza dare nulla per scontato? mi trovo in difficolta in ogni esercizio con queste richieste... grazie mille in anticipo
"Si consideri la matrice Ak \( \begin{pmatrix} k & 1 & 0 \\ 4 & k & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \) , dove k è un parametro reale. Si determinino:
- i valori di k per cui Ak è diagonalizzabile
- posto k=4, una matrice D diagonale simile ad A4 e la relativa teoria diagonalizzante P"
svolgimento:
per il primo punto faccio la cerco gli autoalori di Ak, faccio la matrice \( \begin{pmatrix} k-\lambda & 1 & 0 \\ 4 & k-\lambda & 0 \\ 2 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} \) e arrivo ad avere $(2-\lambda)[(k-\lambda)-4]$va sviluppato per togliere il $-$ ma mi si crea un calcolo impossibile
per il secondo punto, metto gli autovalori trovati sulla diagonale (e altrove metto 0) e trovo D, per p... so la teoria, ma i calcoli non tornano mai, qualcuno potrebbe farmi vedere nel dettaglio gli svolgimenti senza dare nulla per scontato? mi trovo in difficolta in ogni esercizio con queste richieste... grazie mille in anticipo
Risposte
"robarri99":
e arrivo ad avere $(2-\lambda)[(k-\lambda)-4]$va sviluppato per togliere il $-$ ma mi si crea un calcolo impossibile
Cominciamo da qua.
Il polinomio caratteristico che hai scritto è sbagliato. Rifai il calcolo, scrivi quello giusto e poi discuti per quali valori di k la matrice è diagonalizzabile e perchè.
mi sono dimenticato di mettere elevato alla 2 il $k-\lamda$... cosa che nel foglio ho fatto
ora sono nuovamente punto a capo
ora sono nuovamente punto a capo
Trova gli autovalori di $(2-lambda)[lambda^2-2klambda+(k^2-4)]=0$
è altrettanto difficile farti capire che mi blocco a quel punto.
se lo sviluppo mi si incasinano i conti
se lo sviluppo mi si incasinano i conti
Stai davvero dicendo che non sai risolvere un'equazione di secondo grado?
$(2-lambda)[lambda^2-2klambda+(k^2-4)]=0$
$(2-lambda)[lambda^2-2klambda+(k^2-4)]=0$
allora, partiamo con il concetto base che se uno scrive qui è perchè ha delle difficoltà e che se cerco di capire come si risolve un esercizio (sapendo la teoria ma non riusendo ad applicarla causa difficolta), si cerca, o almeno, si dovrebbe aiutare quella persona, non rimarcare 3 volte cosa fare e sfottere... poi veda lei. la ringrazio per il tempo speso per rispondermi in maniera cosi efficiente.
qualcuno potrebbe auitarmi cortesemente?
qualcuno potrebbe auitarmi cortesemente?
sviluppo e risulta \( \lambda ^2-2\lambda \kappa +\kappa ^2-4 \)
visto che mi serve solo trovare il valore di \( \lambda \), la raccolgo e trovo \( \lambda (\lambda -2\kappa ) \) e tralascio \( k^2-4 \) e risulta \( \lambda 1 = 0 \) e \( \lambda 2 = 2k \) svolgendo anche la prima parentesi (ovvero ( \( 2- \lambda \) )) trovo \( \lambda3 = 2 \)
ora faccio \( \lambda3 \neq \lambda 1 \) e faccio i paragoni eguagliando \( \lambda2 \) con \( \lambda1 \) e \( \lambda3 \)
risulta \( \kappa =0 \) con \( \lambda = 0 \) e \( \kappa =1 \) con \( \lambda =2 \)
faccio le due matrici con le 2 diverse casisitiche per vedere se \( mg = ma \) e vedere per quale valore di k è diagonalizzabile
ad ogni modo, ho chiesto aiuto sapendo la teoria ed esponendola, cosa ho sbagliato? le regole del forum le ho rispettate
visto che mi serve solo trovare il valore di \( \lambda \), la raccolgo e trovo \( \lambda (\lambda -2\kappa ) \) e tralascio \( k^2-4 \) e risulta \( \lambda 1 = 0 \) e \( \lambda 2 = 2k \) svolgendo anche la prima parentesi (ovvero ( \( 2- \lambda \) )) trovo \( \lambda3 = 2 \)
ora faccio \( \lambda3 \neq \lambda 1 \) e faccio i paragoni eguagliando \( \lambda2 \) con \( \lambda1 \) e \( \lambda3 \)
risulta \( \kappa =0 \) con \( \lambda = 0 \) e \( \kappa =1 \) con \( \lambda =2 \)
faccio le due matrici con le 2 diverse casisitiche per vedere se \( mg = ma \) e vedere per quale valore di k è diagonalizzabile
ad ogni modo, ho chiesto aiuto sapendo la teoria ed esponendola, cosa ho sbagliato? le regole del forum le ho rispettate
@robarri99 Non sto sfottendo, sono incredulo. Immagino tu sia un universitario, quindi si da per scontato che tu sappia risolvere un'equazione di secondo/terzo grado.
Nella mia testa ho pensato che il problema fosse "cosa fare dopo aver trovato le soluzioni".
Per risolvere questo tipo di problemi parametrici si segue il seguente processo logico.
Una matrice è diagonalizzabile al 100% quando il polinomio caratteristico ha 3 radici reali e distinte.
Quindi la prima cosa da fare è appunto trovare le radici in funzioni di k e determinare gli intervalli per cui il discriminante $b^2-4ac>=0$ Quindi devi sapere anche risolvere una disequazione di secondo grado.
In questo caso specifico il discriminante è sempre positivo, quindi qualsiasi sia il valore di k si ottengono tre radici reali.
Il passo successivo è controllare i valori di k per cui il polinomio caratteristico ha due radici (o tre) radici coincidenti. Questo perchè sono le uniche casistiche restanti per cui la matrice potrebbe non essere diagonalizzabile e quindi vanno identificati e discussi.
Ma ripeto, se il problema è a monte e non sai risolvere le equazioni/disequazioni di secondo grado allora il mio consiglio è dedicare una giornata a ripassarle. Poi possiamo riprendere e risolvere l'esercizio.
Nella mia testa ho pensato che il problema fosse "cosa fare dopo aver trovato le soluzioni".
Per risolvere questo tipo di problemi parametrici si segue il seguente processo logico.
Una matrice è diagonalizzabile al 100% quando il polinomio caratteristico ha 3 radici reali e distinte.
Quindi la prima cosa da fare è appunto trovare le radici in funzioni di k e determinare gli intervalli per cui il discriminante $b^2-4ac>=0$ Quindi devi sapere anche risolvere una disequazione di secondo grado.
In questo caso specifico il discriminante è sempre positivo, quindi qualsiasi sia il valore di k si ottengono tre radici reali.
Il passo successivo è controllare i valori di k per cui il polinomio caratteristico ha due radici (o tre) radici coincidenti. Questo perchè sono le uniche casistiche restanti per cui la matrice potrebbe non essere diagonalizzabile e quindi vanno identificati e discussi.
Ma ripeto, se il problema è a monte e non sai risolvere le equazioni/disequazioni di secondo grado allora il mio consiglio è dedicare una giornata a ripassarle. Poi possiamo riprendere e risolvere l'esercizio.
i calcoli svolti sopra da me sono giusti quindi?
"robarri99":
e tralascio \( k^2-4 \)
Ma perchè tralasci?
L'equazione è del tipo $alambda^2+blambda+c=0$
dove $a=1$ $b=-2k$ e $c=k^2-4$
La formula risolutiva è $lambda=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$
Applicala. E per prima cosa ti consiglio prima di controllare quando il discriminante $b^2-4ac>=0$ ovvero trovare i valori di k per cui le radici sono reali. Ripeto in questo caso $b^2-4ac=16>0$ quindi non dipende da k ma, in generale, gli esercizi non saranno così semplici.
ah cavolo, scusami, tralasciavo perche pensavo di dover considerare solo i valori con \( \lambda \) ora svolgo i calcoli per intero, intanto grazie
ok svolta la formula mi vengono
\( \lambda 1 = k+2 \)
\( \lambda2 = k-2 \)
\(\lambda3 = 2 \)
sbagliato qualcosa?
\( \lambda 1 = k+2 \)
\( \lambda2 = k-2 \)
\(\lambda3 = 2 \)
sbagliato qualcosa?
Esatto! Finalmente ci siamo.
Quindi abbiamo scoperto che il polinomio caratteristico ha SEMPRE soluzioni reali qualsiasi sia k.
E anche evidente che non esiste un valore di k per cui le tre radici sono coincidenti.
Quindi ci resta solo da analizzare i casi in cui ci sono due radici coincidenti, ovvero:
-quando $lambda_1=lambda_3$?
-quando $lambda_2=lambda_3$?
Quindi abbiamo scoperto che il polinomio caratteristico ha SEMPRE soluzioni reali qualsiasi sia k.
E anche evidente che non esiste un valore di k per cui le tre radici sono coincidenti.
Quindi ci resta solo da analizzare i casi in cui ci sono due radici coincidenti, ovvero:
-quando $lambda_1=lambda_3$?
-quando $lambda_2=lambda_3$?
okok, ora ci sono, sono praticamente i calcoli di 2 miei messaggi fa (ovviamente con i valori corretti questa volta), giusto? (grazie mille per la disequazione, giuro ero stra in crisi per sta cavolata)
Prego, ma se vuoi completare l'esercizio fai pure. Così completiamo il ciclo logico per la risoluzione di questo tipo di esercizi.
allora, spiego lo svolgimento totale, correggetemi se sbaglio.
trovate le tre soluzioni \( \lambda \) le comparo, facendo ovviamente \( \lambda1\neq \lambda 2 \) , \( \lambda2= \lambda 3 \) e \( \lambda1= \lambda 3 \)
nel primo caso ( \( \lambda2= \lambda 3 \)) abbiamo \( k-2=2 \) e quindi \( k=4 \) con \( \lambda =2 \)
nel secondocaso ( \( \lambda1= \lambda 3 \)) abbiamo \( k+2=2 \) e quindi \( k=0 \) con \( \lambda =2 \)
ora trovo gli autovalori con \( K=0 \) e \( \lambda =2 \):
\( |A0-2I|=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \) e prendendo il minore \( \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \) viene determinante 8, che essendo diverso da 0, mi dà rango 2. \( ma=2 \) , \( mg=3-2=1 \) quindi \( ma\neq mg \) ciò implica che non è diagonalizzabile per k=0
analogamente svolgo gli stessi calcoli con k=4 (e risulta diagonalizzabile).
il punto 2) dell'esercizio chiedeva "posto k=4, una matrice D diagonale simile ad A4 e la relativa teoria diagonalizzante P"
creo la matrice \( A4 \) e trovo gli autovalori, la matrice risulta \( |A4-\lambda I|= \begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 & 0 \\ 4 & 4-\lambda & 0 \\ 2 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} \) e svolgendo i calcoli trovo i 3 autovalori: \( \lambda 1=\lambda 2=2 \) e \( \lambda 3=6 \) .
credo la matrice D con gli autovalori sulla diagonale principale (e il resto dei valori a 0)
\( D=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \)
ora provvedo a calcolare P e poi posto la soluzione
trovate le tre soluzioni \( \lambda \) le comparo, facendo ovviamente \( \lambda1\neq \lambda 2 \) , \( \lambda2= \lambda 3 \) e \( \lambda1= \lambda 3 \)
nel primo caso ( \( \lambda2= \lambda 3 \)) abbiamo \( k-2=2 \) e quindi \( k=4 \) con \( \lambda =2 \)
nel secondocaso ( \( \lambda1= \lambda 3 \)) abbiamo \( k+2=2 \) e quindi \( k=0 \) con \( \lambda =2 \)
ora trovo gli autovalori con \( K=0 \) e \( \lambda =2 \):
\( |A0-2I|=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \) e prendendo il minore \( \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \) viene determinante 8, che essendo diverso da 0, mi dà rango 2. \( ma=2 \) , \( mg=3-2=1 \) quindi \( ma\neq mg \) ciò implica che non è diagonalizzabile per k=0
analogamente svolgo gli stessi calcoli con k=4 (e risulta diagonalizzabile).
il punto 2) dell'esercizio chiedeva "posto k=4, una matrice D diagonale simile ad A4 e la relativa teoria diagonalizzante P"
creo la matrice \( A4 \) e trovo gli autovalori, la matrice risulta \( |A4-\lambda I|= \begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 & 0 \\ 4 & 4-\lambda & 0 \\ 2 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} \) e svolgendo i calcoli trovo i 3 autovalori: \( \lambda 1=\lambda 2=2 \) e \( \lambda 3=6 \) .
credo la matrice D con gli autovalori sulla diagonale principale (e il resto dei valori a 0)
\( D=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \)
ora provvedo a calcolare P e poi posto la soluzione
E' corretto, però se permetti qualche nota...
a) teoria diagonalizzante non l'ho mai sentito come termine e francamente non ha nemmeno senso. Immagino sia semplicemente una matrice composta dagli autovettori di $A_4$.
b) non era necessario ricalcolare gli autovalori di $A_4$. Bastava sostituire $k=4$ nelle soluzioni generali.
c) ti hanno insegnato il metodo per calcolare il rango con i determinanti...secondo me è pessimo: si perde solo tempo. Dato che dovevi verificare che il rango di $Rg[A_4-2I]=1$ e che al secondo punto ti chiede di trovarne gli autovettori, tanto vale risolvere direttamente il sistema omogeneo $[A_4-2I]v=0$ ovvero trovarne il kernel (che dovrà avere dimensione 2).
Usando Gauss-Jordan, basta un passaggio:
$ [A_4-2I]=( ( 2 , 1 , 0 ),( 4 , 2 , 0 ),( 2 , 1 , 0 ) ) rArr ( ( 2 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) ( ( v_x ),( v_y ),( v_z ) )=0$
Una base del kernel sono (per esempio) gli autovettori associati a $lambda=2$:
$v_1=(0,0,1)$ e $v_2=(1,-2,0)$
quindi m.a.=m.g., potevi affermare che $A_k$ è diagonalizzabile per $k!=0$ e avevi già fatto buona parte del lavoro.
E ti restava solo da trovare l'autovettore associato a $lambda=6$
a) teoria diagonalizzante non l'ho mai sentito come termine e francamente non ha nemmeno senso. Immagino sia semplicemente una matrice composta dagli autovettori di $A_4$.
b) non era necessario ricalcolare gli autovalori di $A_4$. Bastava sostituire $k=4$ nelle soluzioni generali.
c) ti hanno insegnato il metodo per calcolare il rango con i determinanti...secondo me è pessimo: si perde solo tempo. Dato che dovevi verificare che il rango di $Rg[A_4-2I]=1$ e che al secondo punto ti chiede di trovarne gli autovettori, tanto vale risolvere direttamente il sistema omogeneo $[A_4-2I]v=0$ ovvero trovarne il kernel (che dovrà avere dimensione 2).
Usando Gauss-Jordan, basta un passaggio:
$ [A_4-2I]=( ( 2 , 1 , 0 ),( 4 , 2 , 0 ),( 2 , 1 , 0 ) ) rArr ( ( 2 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) ( ( v_x ),( v_y ),( v_z ) )=0$
Una base del kernel sono (per esempio) gli autovettori associati a $lambda=2$:
$v_1=(0,0,1)$ e $v_2=(1,-2,0)$
quindi m.a.=m.g., potevi affermare che $A_k$ è diagonalizzabile per $k!=0$ e avevi già fatto buona parte del lavoro.
E ti restava solo da trovare l'autovettore associato a $lambda=6$
intanto ti ringrazio per le dritte date, cerchero di adottarle perche semplificano di molto a quanto vedo.
ieri ho concluso l'esercizio in modo differente (non avendo visto il tuo messaggio prima di finire l'esercizio) e per trovare p avevo fatto la matrice \( |A4-2I|=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ x \\ z \end{pmatrix} \) e svolgendo i calcoli del sistema \( \begin{cases} 2x+y=0 \\ 4x+2y=0 \\ 2x+y=0 \end{cases} \) risultava \( x=-1/2y \) visto che avevo \( \lambda =2 \) con \( ma=2 \) ho creato due variabili "sostitutive", ovvero \( y=\alpha \) e \( z=\beta \)
quindi risultava, dopo la sostituzione, \( (-1/2\alpha ,\alpha ,\beta ) \) dove, separando le due variabili, risultano i 2 vettori \( (-1/2,1,0 ) \) e \( (0,0,1) \) .
ora mi chiedo, la soluzione che tu hai dato è giusta. la mia, perchè sia corretta, devo moltiplicare il primo vettore per \( (-2) \) in modo da farlo risultare \( (1,-2,0) \). è sbagliato se lo lascio nella forma \( (-1/2,1,0 ) \)? se si, che cosa sbaglio?
ieri ho concluso l'esercizio in modo differente (non avendo visto il tuo messaggio prima di finire l'esercizio) e per trovare p avevo fatto la matrice \( |A4-2I|=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ x \\ z \end{pmatrix} \) e svolgendo i calcoli del sistema \( \begin{cases} 2x+y=0 \\ 4x+2y=0 \\ 2x+y=0 \end{cases} \) risultava \( x=-1/2y \) visto che avevo \( \lambda =2 \) con \( ma=2 \) ho creato due variabili "sostitutive", ovvero \( y=\alpha \) e \( z=\beta \)
quindi risultava, dopo la sostituzione, \( (-1/2\alpha ,\alpha ,\beta ) \) dove, separando le due variabili, risultano i 2 vettori \( (-1/2,1,0 ) \) e \( (0,0,1) \) .
ora mi chiedo, la soluzione che tu hai dato è giusta. la mia, perchè sia corretta, devo moltiplicare il primo vettore per \( (-2) \) in modo da farlo risultare \( (1,-2,0) \). è sbagliato se lo lascio nella forma \( (-1/2,1,0 ) \)? se si, che cosa sbaglio?
Va benissimo anche quello. Tutti i vettori che si trovano nello span, in questo caso $t(-1/2,1,0)$ sono autovettori.
Io preferisco eliminare le frazioni ed avere la prima componente positiva (solo per comodità) e l'ho moltiplicato per -2.
Puoi verificare da te che sono tutti autovettori collegati all'autovalore 2
$( ( 4 , 1 , 0 ),( 4 , 4 , 0 ),( 2 , 1 , 2 ) )( ( t ),( -2t ),( 0 ) )=( ( 2t ),( -4t ),( 0 ) )=2( ( t ),( -2t ),( 0 ) )$
Io preferisco eliminare le frazioni ed avere la prima componente positiva (solo per comodità) e l'ho moltiplicato per -2.
Puoi verificare da te che sono tutti autovettori collegati all'autovalore 2
$( ( 4 , 1 , 0 ),( 4 , 4 , 0 ),( 2 , 1 , 2 ) )( ( t ),( -2t ),( 0 ) )=( ( 2t ),( -4t ),( 0 ) )=2( ( t ),( -2t ),( 0 ) )$
ottimo, grazie mille per l'aiuto
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