Problema con iperbole
Buon giorno. Ho un problema con questo esercizio sull'iperbole: nel piano euclideo con riferimento cartesiano Oxy si consideri l’iperbole passante per il punto $A(−1,−2)$, avente un asse di simmetria coincidente con la retta
$r : x−2y+1=0$ e un asintoto coincidente con la retta $y−1=0$.
Determinare l’equazione dell’altro asintoto, del centro, dell’altro asse di simmetria e l’equazione cartesiana dell’iperbole nel riferimento cartesiano Oxy. Determinare una forma canonica dell'iperbole, una rototraslazione che la riduce in tale forma e la distanza tra i suoi vertici.
Conoscendo l'asse di simmetria e un asintoto, posso trovare la loro intersezione e quindi il centro, ma come trovo l'altro asintoto? So che hanno equazione $y=+-b/ax$ e sapendo come trovare l'altro asintoto, il suo punto di intersezione con l'altro asse di simmetria sarebbe sempre il centro trovato prima, e infine con queste informazioni si ottiene l'equazione cartesiana. Sapreste suggerirmi come ricavare l'altro asintoto?
$r : x−2y+1=0$ e un asintoto coincidente con la retta $y−1=0$.
Determinare l’equazione dell’altro asintoto, del centro, dell’altro asse di simmetria e l’equazione cartesiana dell’iperbole nel riferimento cartesiano Oxy. Determinare una forma canonica dell'iperbole, una rototraslazione che la riduce in tale forma e la distanza tra i suoi vertici.
Conoscendo l'asse di simmetria e un asintoto, posso trovare la loro intersezione e quindi il centro, ma come trovo l'altro asintoto? So che hanno equazione $y=+-b/ax$ e sapendo come trovare l'altro asintoto, il suo punto di intersezione con l'altro asse di simmetria sarebbe sempre il centro trovato prima, e infine con queste informazioni si ottiene l'equazione cartesiana. Sapreste suggerirmi come ricavare l'altro asintoto?
Risposte
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No, effettivamente il punto di passaggio è $A(1,2)$ e l'asintoto è $4x-3y-1=0$. Detto ciò, prima di trovare la forma canonica, dovrei trovare l'altro asintoto e l'altro asse di simmetria. Che informazione posso sfruttare?
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Ok sul trovare il centro, ma come l'altro asse di simmetria? Per l'asintoto mi sembra strano che venga chiesto prima di aver determinato la trasformazione, può darsi ci sia un modo per farlo. In realtà, i dati di prima li ho confusi con un altro esercizio simile, in cui effettivamente l'asintoto era $y=1$, in casi come questi come è possibile che non rispettino la forma $y=+-b/ax$?
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Ok va bene, quindi per la rototraslazione, procedo come nell'altro esercizio, se non erro nei conti dovrebbe venire così: $[[x],[y]]=[[3/5,-4/5],[4/5,3/5]][,[v]]+[[0],[-1/3]]$
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Non capisco, dove dovrebbe essere l'errore. Ho fatto gli stessi passaggi che ho fatto nell'altro esercizio.
ho riscritto la retta come $y=4/3x-1/3$, quindi la traslazione avviene del vettore $[[0],[-1/3]]$ mentre dal coefficiente angolare ho ricavato seno e coseno dell'angolo, essendo $4/3=tgalpha$
ho riscritto la retta come $y=4/3x-1/3$, quindi la traslazione avviene del vettore $[[0],[-1/3]]$ mentre dal coefficiente angolare ho ricavato seno e coseno dell'angolo, essendo $4/3=tgalpha$
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Perdonami, ma non ricordando cosa avevo corretto, ho scambiato l'asintoto per l'asse di simmetria. Rifacendo i conti, mi tornano quei valori di seno e coseno, ma che io ricavo dalla seconda relazione fondamentale, non mi è chiara la relazione tra norma di un vettore e seno e coseno. Ad ogni modo, data quella matrice, il centro si ricava come intersezione tra l'asse di simmetria e l'asintoto, quindi $C=(-5/3,-1/3)$. Non capisco perché dici che seno e coseno sono da ricavare dagli assi di simmetria, se li abbiamo già trovati. L'altro asse dovrebbe essere: $y=-2x+3$.
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Per il primo punto, ho di nuovo confuso due equazioni, quindi non mi risultava quel sistema, grazie per aver corretto e messo in chiaro i dati. Ora per l'asintoto posso scrivere $v=+-b/au$ come $\{(2/sqrt(5)(x-1)+1/sqrt(5)(y-1)=b/a(1/sqrt(5)(x-1)-2/sqrt(5)(y-1))), ((1/sqrt(5)(x-1)-2/sqrt(5)(y-1))^2/a^2-(2/sqrt(5)(x-1)-1/sqrt(5)(y-1))^2/b^2=1):}$. Ora sostituire a x e y i valori 1,2 e quindi trovare i valori per a e b $\{(a_1=-sqrt(3)/2), (b_1=sqrt(3)):}$ e $\{(a_2=sqrt(3)/2), (b_2=-sqrt(3)):}$. Quindi avrei determinato due iperboli anziché una sola. Noto questo, l'altro asintoto è $v=+-2u$ e l'equazione cartesiana è $4/3u^2-1/3v^2=1$
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In che senso non è farina del mio sacco hahaha? I conti gli ho fatti a mano e ho dovuto escludere una soluzione che non avrebbe condotto da nessuna parte. Non capisco perché sia sbagliato imporre il passaggio per il punto, ma bisogna ricavare y per uguagliarlo all'asintoto. A prescindere, avevo ottenuto pure io da quel sistema che $b=-2a$ e poi perché consideri $b=2a$? Perché sparisce il segno?
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Scusami, ma rifaccio i conti anche per me stesso per la prima equazione:
$2/sqrt(5)(1-1)+1/sqrt(5)(2-1)=b/a(1/sqrt(5)(1-1)-2/sqrt(5)(2-1))$
$0+1/sqrt(5)=b/a(0-2/sqrt(5))$
$1/sqrt(5)=-(2b)/(asqrt(5))$
$a=-2b$
Ok, hai ragione, mi viene $a=-2b$ e non $b=-2a$, ma continuando i conti da questa, trovo l'equazione che ti ho riportato. Errore mio, come sempre.
Vista la tua bravura, non so se tu sia un docente o chi altro, ti chiederei un consiglio, come vedi trovo difficoltà a capire certi punti stupidi, forse non mi è del chiaro come funziona il tutto.
$2/sqrt(5)(1-1)+1/sqrt(5)(2-1)=b/a(1/sqrt(5)(1-1)-2/sqrt(5)(2-1))$
$0+1/sqrt(5)=b/a(0-2/sqrt(5))$
$1/sqrt(5)=-(2b)/(asqrt(5))$
$a=-2b$
Ok, hai ragione, mi viene $a=-2b$ e non $b=-2a$, ma continuando i conti da questa, trovo l'equazione che ti ho riportato. Errore mio, come sempre.
Vista la tua bravura, non so se tu sia un docente o chi altro, ti chiederei un consiglio, come vedi trovo difficoltà a capire certi punti stupidi, forse non mi è del chiaro come funziona il tutto.
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Grazie per la risposta e per l'aiuto che mi hai sempre dato. Sembra strano che tu abbia solo un diploma, poichè questi sono argomenti universitari e tu ne hai grande padronanza. Accoglierò i tuoi consigli. Complimenti e grazie ancora!