Problema con gli Orlati
salve ragazzi avrei un problema con l'applicazione del teorema degli orlati. Mi spiego meglio:
ho la matrice:
$A=((1,2,3,5),(2,9,4,6),(3,4,7,8),(5,6,8,4))$
ho scelto come minore: $M=((1,2),(2,9))$
ed ho calcolato tutti gli orlati . Il problema è che come ci ha spiegato la professoressa all'uni il primo orlato con determinante diverso da zero ha come ordine il rango della matrice ma gli orlati che im escono sono almeno 2 diversi da zero!! Dove sbaglio?
Ho ricontrollato gli orlati e credo di averli fatti bene voi sapreste dirmi gentilmente dove sbaglio?
P.S. la matrice l'ho inventata ed ora che la vedo meglio mi sono accorto che ho scritto involontariamente una matrice simmetrica!
ho la matrice:
$A=((1,2,3,5),(2,9,4,6),(3,4,7,8),(5,6,8,4))$
ho scelto come minore: $M=((1,2),(2,9))$
ed ho calcolato tutti gli orlati . Il problema è che come ci ha spiegato la professoressa all'uni il primo orlato con determinante diverso da zero ha come ordine il rango della matrice ma gli orlati che im escono sono almeno 2 diversi da zero!! Dove sbaglio?
Ho ricontrollato gli orlati e credo di averli fatti bene voi sapreste dirmi gentilmente dove sbaglio?
P.S. la matrice l'ho inventata ed ora che la vedo meglio mi sono accorto che ho scritto involontariamente una matrice simmetrica!
Risposte
No, il rango della matrice è: l'ordine degli orlati TUTTI con determinante nullo MENO 1.
(forse voleva dire: il rango della matrice è ALMENO l'ordine degli orlati di cui ALMENO UNO abbia determinante diverso da 0).
(forse voleva dire: il rango della matrice è ALMENO l'ordine degli orlati di cui ALMENO UNO abbia determinante diverso da 0).
si scusa orazio mi sono espresso male! comunque il problema è che di orlati con determinante diverso da zero ne ho due quindi come faccio a dire qual è il rango?
Scusa ma il metodo degli orlati ti fornisce un metodo ricorsivo per determinare il rango di una matrice in questo modo:
A. trova un minore non nullo di ordine 1
B. per ogni minore non nullo di ordine k, cerca un minore non nullo di ordine k+1 orlando il minore di ordine k
Il punto B. richiede che ne trovi UNO di minore non nullo di ordine k+1. Una volta trovato, ripeti il punto B orlando e cercando un minore non nullo di ordine k+2.
Ti fermi quando nel punto B non trovi, orlando in tutti i modi possibili, il minore non nullo di ordine k+1.
Paola
A. trova un minore non nullo di ordine 1
B. per ogni minore non nullo di ordine k, cerca un minore non nullo di ordine k+1 orlando il minore di ordine k
Il punto B. richiede che ne trovi UNO di minore non nullo di ordine k+1. Una volta trovato, ripeti il punto B orlando e cercando un minore non nullo di ordine k+2.
Ti fermi quando nel punto B non trovi, orlando in tutti i modi possibili, il minore non nullo di ordine k+1.
Paola
@prime non ho capito ciò che hai scritto! io ho orlato la matrice con 4 minori 3x3..ora di questi 4 orlati due hanno determinante diverso da zero mentre regolarmente (come daltronde abbiamo fatto in aula) dovrebbe essere un solo minore diverso da zero e l'ordine di quel minore mi fornisce il rango della matrice! mi sono spiegato? 
Forse per ora ti è sempre capitato che solo una delle matrici orlate abbia determinante non nullo, ma non è sempre così.
Può benissimo accadere che ce ne siano due, tre,.. anche tutte.
Può benissimo accadere che ce ne siano due, tre,.. anche tutte.
ah..e quindi in questi casi? come faccio a dire qual è il rango della matrice?
Prendi un qualsiasi minore non nullo 3x3 e provi ad orlarlo. Il punto forte del metodo è il seguente: tu hai trovato due minori 3x3 non nulli, chiamiamoli A e B. Supponiamo che tu segua il mio consiglio a inizio post e scelga A e provi ad orlarlo e non trovi nessun minore non nullo di ordine 4. A quel punto ti chiedi: posso dunque concludere che la matrice ha rango 3 oppure se avessi scelto B le cose sarebbero andate diversamente??
Ecco, il metodo ti dice che puoi concludere che il rango della matrice è 3, non importa quale minore di ordine 3 hai scelto al bivio!
Paola
Ecco, il metodo ti dice che puoi concludere che il rango della matrice è 3, non importa quale minore di ordine 3 hai scelto al bivio!
Paola
ahhhh ok grazie!! dunque dall'esempio ke ho proposto devo concludere che comunque sia il rango della matrice 4x4 è 3 giusto? in effetti non mi è mai capitata una cosa del genere...un altra domanda: l'operazione di orlatura(consentitemi il termine XD) implica che i minori debbano essere per forza del tipo 3x3 oppure posso orlare a mia scelta? Mi spiego meglio: se io ho una matrice 5x5 ed applico il teorema, posso orlare facendo dei minori 4x4 oppure posso ulteriormente semplificarli facendo 3x3?
P.S. parlo da profano perchè non ho ancora avuto a che fare con matrici del genere! quindi sono completamente all'oscuro di altri metodi per il calcolo del determinante di tali matrici ma credo che ci debba essere un altro metodo perchè con il teorema degli orlati verrebbe fuori un pasticcio tremendo!
P.S. parlo da profano perchè non ho ancora avuto a che fare con matrici del genere! quindi sono completamente all'oscuro di altri metodi per il calcolo del determinante di tali matrici ma credo che ci debba essere un altro metodo perchè con il teorema degli orlati verrebbe fuori un pasticcio tremendo!
No, la tua matrice non è detto abbia rango 3. Tu hai trovato dei minori non nulli di ordine 3, il che significa che la tua matrice originaria ha rango ALMENO 3. Ora orla uno (qualsiasi , per quanto detto sopra) dei minori non nulli di ordine 3 alla ricerca di uno di ordine 4 non nullo. In questo esercizio l'unico minore di ordine 4 è la matrice stessa, quindi ti tocca di calcolare il determinante.
In generale comunque quando si ha una matrice quadrata si calcola subito il determinante e non si applica gli orlati, per risparmiarsi un sacco di inutili calcoli (questo esercizio ti mostra che alla fine finisci per fare il determinante comunque!).
Il metodo comunque dice di partire trovando un minore non nullo di ordine 1, poi di ordine 2 orlando quest'ultimo, poi di ord. 3... ecc. finchè non ti blocchi.
Paola
In generale comunque quando si ha una matrice quadrata si calcola subito il determinante e non si applica gli orlati, per risparmiarsi un sacco di inutili calcoli (questo esercizio ti mostra che alla fine finisci per fare il determinante comunque!).
Il metodo comunque dice di partire trovando un minore non nullo di ordine 1, poi di ordine 2 orlando quest'ultimo, poi di ord. 3... ecc. finchè non ti blocchi.
Paola
ok quindi mi tocca applicare Laplace per calcolare il determinante della matrice 4x4! capito grazie mille a tutti per la chiarezza 
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