Problema con esercizio sulla proiezione di un vettore

[luca.cupito]

Ciao a tutti,
ho un problema con un esercizio sulla proiezione di un vettore prima su una retta e poi su un piano. La traccia è:

Nello spazio euclideo $R^3$ si consideri il vettore $v = i + j − 2k$. Si determinino:
(1) il vettore proiezione di $v$ sulla retta $r$ : \begin{equation}
\begin{cases}
x − 2y + z = 0\\2x + y + z − 2 = 0
\end{cases}
\end{equation}
(2) il vettore proiezione di $v$ sul piano $π : 3x − 2y + z + 1 = 0$ .

Per quanto riguarda (1):
mi trovo il vettore unitario $u$ appartente alla retta $r$, assegnando alla $x$ un valore arbitrario, come ad esempio $x=1$. Mi risulta che:
$x=1$, $y=\frac{1}{3}$, $z=-\frac{1}{3}$, ovvero $ i+1/3j-1/3k$
Ora trovo il versore della retta $w = u / |u|= \frac{i+1/3j-1/3k}{\sqrt(11}/3$ = $\frac{3\sqrt(11}i+\sqrt(11}j-\sqrt(11}k}{11}$
Per definizione:
$v' = (v*w)*w$
$v*w= 6\sqrt{11}/11$
$v' = (v*w)*w = 6\sqrt{11}/11 * (\frac{3\sqrt(11}i+\sqrt(11}j-\sqrt(11}k}{11})$
e, infine, abbiamo che:
$v'= (18/11, 6/11, -6/11)$ ovvero $v'= 18/11i+6/11j-6/11k$

Per il punto (2) avrei un idea ma non so se è giusta:
mi calcolo il versore $u$ facendo : $u =\frac{3x − 2y + z}{|3x − 2y + z|}$
faccio $w = (v*u)*u$
e infine, sapendo che se si proietta $v$ su $π$ si ha $v = v'+w$, usando la formula inversa abbiamo che
$v' = v-w$
Vorrei sapere cosa ne pensate e soprattutto se e dove ho sbagliato.
Grazie mille a tutti

[anonymous_0b37e9]

"MrRobot96":
... mi trovo il vettore unitario $u$ appartenente alla retta $r$ ...

Veramente, le componenti di un vettore libero parallelo alla retta si ricavano calcolando il seguente determinante:

$|(veci,vecj,veck),(1,-2,1),(2,1,1)|=-3veci+vecj+5veck$

Infatti, considerando che la retta passa per il punto $P(2,0,-2)$:

$(x-2)/-3=(y-0)/1=(z+2)/5 rarr \{(x+3y-2=0),(5y-z-2=0):} rarr \{(x-2y+z=0),(2x+y+z-2=0):}$

In sintesi, se e solo se la retta passa per l'origine il tuo procedimento è corretto. Viceversa, le componenti di un vettore libero parallelo alla retta si ricavano calcolando la differenza tra due punti appartenenti alla medesima.

[luca.cupito]

Quindi mi calcolo le componenti del vettore libero come hai detto tu facendo:
$|(i,j,k),(1,-2,1),(2,1,1)| = -3i+j+5k$
trovo $w$ come $w= u / |u|$
$w= u / |u|$= $(-3i+j+5k)/(\sqrt(35))$
mi calcolo $v'$ facendo $v'=(v*w)w$ e facendo tutti i calcoli mi risulta che:
$v'= \frac{36*\sqrt(35)}{35} i - \frac{12*\sqrt(35)}{35}j - \frac{12*\sqrt(35)}{35} k $
Giusto?
E invece per quanto riguarda il secondo punto?

[anonymous_0b37e9]

Hai senz'altro sbagliato qualche conto. Infatti:

$36sqrt35/35veci-12sqrt35/35vecj-12sqrt35/35veck$

non è nemmeno parallelo alla retta in esame. Ad ogni modo, mediante l'operatore di proiezione lungo la retta:

$\pi=((-3/sqrt35),(1/sqrt35),(5/sqrt35))((-3/sqrt35,1/sqrt35,5/sqrt35))=((9/35,-3/35,-3/7),(-3/35,1/35,1/7),(-3/7,1/7,5/7))$

a me risulta:

$\pivecv=((9/35,-3/35,-3/7),(-3/35,1/35,1/7),(-3/7,1/7,5/7))((1),(1),(-2))=((36/35),(-12/35),(-12/7)) rarr$

$rarr \pivecv=36/35veci-12/35vecj-12/7veck$

Per quanto riguarda il secondo punto, si può procedere allo stesso modo sottraendo all'operatore identità l'operatore di proiezione lungo la normale al piano:

$\pi=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))-((3/sqrt14),(-2/sqrt14),(1/sqrt14))((3/sqrt14,-2/sqrt14,1/sqrt14)) rarr$

$rarr \pi=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))-((9/14,-3/7,3/14),(-3/7,2/7,-1/7),(3/14,-1/7,1/14)) rarr$

$rarr \pi=((5/14,3/7,-3/14),(3/7,5/7,1/7),(-3/14,1/7,13/14))$

Quindi:

$\pivecv=((5/14,3/7,-3/14),(3/7,5/7,1/7),(-3/14,1/7,13/14))((1),(1),(-2))=((17/14),(6/7),(-27/14)) rarr$

$rarr \pivecv=17/14veci+6/7vecj-27/14veck$