Problema con dimensione di una matrice

[carbs551]

Ciao a tutti!
Volevo avere un chiarimento per quanto riguarda la dimensione di questi vettori.
A me viene che la dim(w)= 5-2=3 perchè riducendo la matrice:

1 1 1
-1 1 -3
0 1 -1
1 1 1
1 1 1

ottengo pivots sulle prime due colonne e 3 colonne nulle. Sulle soluzioni c'è scritto che dim(w)= 2. Perchè?
Questo è W:
W = Span(w1; w2; w3), dove w1= (1;-1;0;1;1;) w2= (1;1;1;1;1) w3= (1;-3;-1;1;1)

Grazie in anticipo

[Magma1]

Forse intendi la dimensione del sottospazio $W = Span(w_1; w_2; w_3)$,
dove $w_1= (1;-1;0;1;1;)$ ,$ w_2= (1;1;1;1;1) $, $w_3= (1;-3;-1;1;1)$

La dimensione, per definizione, è il numero di vettori di una base (insieme di generatori linearmente indipendenti); quindi, per trovare la dimensione $W$, è necessario trovarne una base.

Dato che

$r( ( 1 , 1 , 1 ),( -1 , 1 , -3 ),( 0 , 1 , -1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) )=2$

Allora, possiamo concludere che solo due dei vettori dati sono indipendenti; pertanto, a meno di scambi, possiamo supporre $w_3$ come C.L. dei rimanenti.
In conclusione abbiamo che $ {w_1, w_2}$ è una base di $W$, e quindi $dim(W)=2$.