Problema con conica parametrica

[oleg.fresi]

Buon giorno. Ho questo esercizio: nel piano euclideo con riferimento cartesiano $Oxy$ si consideri la famiglia di coniche $C(k) : 3y+2kxy-2kx-4y+4=0$ con $kinRR$. Attraverso il calcolo degli invarianti ortogonali, classificare la famiglia C(k) e determinare inoltre per quali valori di k la conica C(k) ha centro nel punto $C'= (-1, 1)$. Dopo aver determinato il valore di k per cui la conica C(k) è l'iperbole che ha un asintoto parallelo alla retta $8x - 6y + 1 = 0$, calcolare la distanza tra i suoi vertici.

Per iniziare ho trovato gli invariati in funzione di k: $I_1=7$, $I_2=-k^2$ e $I_3=-3k^2$.
$I_3=0$ se $k=0$ in tal caso $I_2=0$ e la conica si spezza in due rette parallele. $I_3!=0$ solo se $k!=0$ ma allora anche $I_2!=0$ e vale $I_2<0 forallkinRR-{0}$.

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Mi sono reso conto adesso che il post non era completo. Volevo capire come imporre che l'asintoto debba essere parallelo a quello dato

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Non mi è chiaro, devo trovare in funzione di k la forma canonica da cui ricavare poi l'equazione dell'asintoto per poi imporre il suo vettore direttore proporzionale a quello della retta $8x-6y+1=0$, corretto?

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Dunque, facendo i conti trovo i tre invarianti, $I_1=3$, $I_2=-k^2$ e $I_3=-3k^2$. Impongo il sistema

$\{(alphabetagamma=-3k^2),(alphabeta=-k^2),(alpha+beta=3):}$
e trovo due equazioni per i due valori di $alpha$ e $beta$

$\{(alpha_1=(3+sqrt(9+4k^2)/2)),(beta_1=(3-sqrt(9+4k^2)/2)),(gamma=3):}$

$\{(alpha_2=(3-sqrt(9+4k^2)/2)),(beta_2=(3+sqrt(9+4k^2)/2)),(gamma=3):}$

Le due equazioni vengono:

$(3+sqrt(9+4k^2))/6X^2-(sqrt(9+4k^2)-3)/6Y^2=-1$

Fin qui è tutto corretto?