Problema con assiomi di separazione e topologia quoziente
Ciao a tutti! vi chiedo un aiuto a proposito di un esercizio: su $R^2$ con la topologia euclidea è definita una relazione di equivalenza ~ definita da: x~y ↔ x=y vel $x,y in B(0,1)$, studiare la topologia quoziente.
I punti che appartengono alla palla $B(0,1)$ sono proiettati in un'unica classe, mentre gli altri punti sono proiettati su se stessi. Gli aperti nella topologia quoziente sono le proiezioni di aperti saturi di $R^2$ e gli aperti saturi di $R^2$ sono gli aperti di $R^2$ la cui intersezione con la palla è nulla oppure che contengono tutta la palla. $R^2$ è connesso quindi anche la topologia quoziente sarà connessa, per la continuità della proiezione. Non penso sia compatto infatti se prendo come ricoprimento di $R^2 U_k=B(0,k)$ con k maggiore di 1 il ricoprimento π$(U_k)$ non ha un sottoricoprimento finito. Inoltre $R^2$ quozientato è 1 numerabile, infatti per i punti $(x,y) in R^2-B(0,1)$ considero la distanza tra la palla e il punto (x,y) uguale a r sia $V_n=B((x,y), r/n) n>0$ è un sistema fondamentale di intorni saturi numerabile di $R^2$ inoltre per i punti della palla considero $B(0,1+(1/n))$ che è un sistema fondamentale di intorni saturi numerabile. l'insieme quoziente con la sua topologia è separabile infatti sia $D=Q^2-B U B$ la sua chiusura è $R^2$ la proiezione è continua quindi l'immagine della chiusura di D è contenuta nella chiusura dell'immagine ma l'immagine della chiusura non è altro che lo spazio quoziente e quindi anche la chiusura dell'immagine sarà lo spazio quoziente, quindi ho trovato un insieme denso che è anche numerabile. Per le considerazioni fatte lo spazio quoziente è anche 2 numerabile in quanto 1 numerabile e separabile...
Il mio problema, oltre a non sapere se i miei ragionamenti sono giusti, riguarda gli assiomi di separazione, infatti non so come fare per dire che lo spazio quoziente è T1, T2, ecc...
grazie mille!!!
I punti che appartengono alla palla $B(0,1)$ sono proiettati in un'unica classe, mentre gli altri punti sono proiettati su se stessi. Gli aperti nella topologia quoziente sono le proiezioni di aperti saturi di $R^2$ e gli aperti saturi di $R^2$ sono gli aperti di $R^2$ la cui intersezione con la palla è nulla oppure che contengono tutta la palla. $R^2$ è connesso quindi anche la topologia quoziente sarà connessa, per la continuità della proiezione. Non penso sia compatto infatti se prendo come ricoprimento di $R^2 U_k=B(0,k)$ con k maggiore di 1 il ricoprimento π$(U_k)$ non ha un sottoricoprimento finito. Inoltre $R^2$ quozientato è 1 numerabile, infatti per i punti $(x,y) in R^2-B(0,1)$ considero la distanza tra la palla e il punto (x,y) uguale a r sia $V_n=B((x,y), r/n) n>0$ è un sistema fondamentale di intorni saturi numerabile di $R^2$ inoltre per i punti della palla considero $B(0,1+(1/n))$ che è un sistema fondamentale di intorni saturi numerabile. l'insieme quoziente con la sua topologia è separabile infatti sia $D=Q^2-B U B$ la sua chiusura è $R^2$ la proiezione è continua quindi l'immagine della chiusura di D è contenuta nella chiusura dell'immagine ma l'immagine della chiusura non è altro che lo spazio quoziente e quindi anche la chiusura dell'immagine sarà lo spazio quoziente, quindi ho trovato un insieme denso che è anche numerabile. Per le considerazioni fatte lo spazio quoziente è anche 2 numerabile in quanto 1 numerabile e separabile...
Il mio problema, oltre a non sapere se i miei ragionamenti sono giusti, riguarda gli assiomi di separazione, infatti non so come fare per dire che lo spazio quoziente è T1, T2, ecc...
grazie mille!!!
Risposte
La palla è quella chiusa o quella aperta? Se è quella aperta mi pare difficile che il quoziente sia di Hausdorff (T2).
nel testo non è specificato...ma più che altro vorrei capire come impostare il discorso, anche a livello più formale....
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