Problema applicazione lineare
Sono dati i polinomi
$p1(x) = 1 + x^3$, $p2(x) = −1 + kx + 3x^3$, $p3(x) = k + 1 + kx^2 + (2k + 1)x^3$
dove k 2 R.
a) Determinare la dimensione dello spazio U generato da p1, p2, p3 al variare del parametro k.
b) Nel caso in cui dim(U) = 2, determinare le equazioni dello spazio f(U) e di un suo supplementare, essendo f : R3[x] ! M2(R) l’applicazione lineare tale che
$f(x^3 + x^2)=((1, 1),(1, 0))$ $f(x^3-2x)=((1,0), (2,0))$ $f(x^2-x)=((0,1),(0,0))$ $f(1+x)=((1,0),(1,0))$
e determinare una base del $ker$ e dell'$Im$$f$
io so che $dim (U)$=$2$ se e solo se $k=0$ e che una base di U è $x^3+1,3x^3-1$
ora però non so come continuare...
pensavo di considerare i polinomi per cui so come opera la $f$ come base di uno spazio generico, e poichè so che un'applicazione lineare è univocamente determinata dai valori che essa assume sui vettori di una qualsiasi base, ne ricavo l'espressione e poi procedo con l'esercizio.
giusto?
$p1(x) = 1 + x^3$, $p2(x) = −1 + kx + 3x^3$, $p3(x) = k + 1 + kx^2 + (2k + 1)x^3$
dove k 2 R.
a) Determinare la dimensione dello spazio U generato da p1, p2, p3 al variare del parametro k.
b) Nel caso in cui dim(U) = 2, determinare le equazioni dello spazio f(U) e di un suo supplementare, essendo f : R3[x] ! M2(R) l’applicazione lineare tale che
$f(x^3 + x^2)=((1, 1),(1, 0))$ $f(x^3-2x)=((1,0), (2,0))$ $f(x^2-x)=((0,1),(0,0))$ $f(1+x)=((1,0),(1,0))$
e determinare una base del $ker$ e dell'$Im$$f$
io so che $dim (U)$=$2$ se e solo se $k=0$ e che una base di U è $x^3+1,3x^3-1$
ora però non so come continuare...
pensavo di considerare i polinomi per cui so come opera la $f$ come base di uno spazio generico, e poichè so che un'applicazione lineare è univocamente determinata dai valori che essa assume sui vettori di una qualsiasi base, ne ricavo l'espressione e poi procedo con l'esercizio.
giusto?
Risposte
Giusto il punto a): $dim\ U=2$ se e solo se $k=0$.
L'idea per il punto b) va bene. Devi cercare di ottenere il valore che la $f$ assume sui vettori $p_1(x)=x^3+1$ e $p_2(x)=3x^3-1$.
Per fare ciò ti conviene scrivere $p_1(x)$ e $p_2(x)$ come combinazione lineare dei quattro vettori su cui è definita la $f$ (che suppongo formino una base di $RR_3[x]$). Infine, ti basta usare la linearità di $f$ e trovare le immagini di $p_1(x)$ e $p_2(x)$ mediante $f$.
Equivalentemente puoi calcolare come agisce $f$ sulla base canonica $1$, $x$, $x^2$, $x^3$ di $RR_3[x]$ (sai come farlo? Sai come agisce $f$ su un'altra base...) e da lì ti puoi facilmente ricavare tutte le informazioni che ti servono.
Se hai qualche dubbio, non esitare a chiedere. Ciao!
L'idea per il punto b) va bene. Devi cercare di ottenere il valore che la $f$ assume sui vettori $p_1(x)=x^3+1$ e $p_2(x)=3x^3-1$.
Per fare ciò ti conviene scrivere $p_1(x)$ e $p_2(x)$ come combinazione lineare dei quattro vettori su cui è definita la $f$ (che suppongo formino una base di $RR_3[x]$). Infine, ti basta usare la linearità di $f$ e trovare le immagini di $p_1(x)$ e $p_2(x)$ mediante $f$.
Equivalentemente puoi calcolare come agisce $f$ sulla base canonica $1$, $x$, $x^2$, $x^3$ di $RR_3[x]$ (sai come farlo? Sai come agisce $f$ su un'altra base...) e da lì ti puoi facilmente ricavare tutte le informazioni che ti servono.
Se hai qualche dubbio, non esitare a chiedere. Ciao!
perfetto, inizio a capire come funzionano!
Grazie mille per la disponibilità!
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