Problema Algebra lineare (applicazioni lineari)
Ciao a tutti, sono alle prese con questo esercizio, che però non riesco a risolvere, vi scrivo il testo e il ragionamento che ho seguito per la prima parte, sperando che, almeno quello sia giusto 
Testo: Sia $ V $ lo spazio vettoriale delle matrici $ 2xx2 $ a coefficienti reali. Si consideri l'applicazione lineare
$ f: Vrarr mathbb(R)^3 $ definita da:
$ f( ( a , b ),( c , d ) ) = (-b+d,2a+2b+d,2a+b+2d) $
a) Determina una base di $ Kerf $ e una base di $ Imf $ e determinane le dimensioni.
b) Scrivi la matrice che rappresenta $ f $ rispetto alla base $ {E_11 , E_12 , E_21 , E_22 }\ \di \ \V $ e alla base canonica in $ R^3 $
c) Scrivi una descrizione parametrica dell' immagine inversa di $ (0,1,1) $ tramite $ f $ e determina, se esiste, una matrice $ M = ( ( a , b ),( c , d ) ) $ con $ a=0 , f(M) = (0,1,1) $
Allora, per quanto riguarda il primo punto ho pensato di fare così:
Per determinare una base del nucleo posso scrivermi il sistema omogeneo:
$ { ( -b+d=0 ),( 2a+2b+d=0 ),( 2a+b+2d=0 ):} $
Scelgo come parametri la b e la c (che nel sistema non compare) mi ricavo le soluzioni e ottengo che
$ b( ( -3/2 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) +c( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ è la descrizione vettoriale dell' insieme delle soluzioni, quindi scelgo i due vettori come base del nucleo della f e deduco che la dimensione del nucleo è 2.
Per l'immagine innanzitutto ho pensato di determinare la dimensione utilizzando il teorema del rango:
sapendo che la dimensione del dominio è 4 e che la dimensione del nucleo è 2 in virtù della formula $ dimV= dimKerf + dimImf $ allora posso dire che la dimensione dell' immagine è 2, da qui però non so come potrei procedere oltre...
Vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto che mi darete
Testo: Sia $ V $ lo spazio vettoriale delle matrici $ 2xx2 $ a coefficienti reali. Si consideri l'applicazione lineare
$ f: Vrarr mathbb(R)^3 $ definita da:
$ f( ( a , b ),( c , d ) ) = (-b+d,2a+2b+d,2a+b+2d) $
a) Determina una base di $ Kerf $ e una base di $ Imf $ e determinane le dimensioni.
b) Scrivi la matrice che rappresenta $ f $ rispetto alla base $ {E_11 , E_12 , E_21 , E_22 }\ \di \ \V $ e alla base canonica in $ R^3 $
c) Scrivi una descrizione parametrica dell' immagine inversa di $ (0,1,1) $ tramite $ f $ e determina, se esiste, una matrice $ M = ( ( a , b ),( c , d ) ) $ con $ a=0 , f(M) = (0,1,1) $
Allora, per quanto riguarda il primo punto ho pensato di fare così:
Per determinare una base del nucleo posso scrivermi il sistema omogeneo:
$ { ( -b+d=0 ),( 2a+2b+d=0 ),( 2a+b+2d=0 ):} $
Scelgo come parametri la b e la c (che nel sistema non compare) mi ricavo le soluzioni e ottengo che
$ b( ( -3/2 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) +c( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ è la descrizione vettoriale dell' insieme delle soluzioni, quindi scelgo i due vettori come base del nucleo della f e deduco che la dimensione del nucleo è 2.
Per l'immagine innanzitutto ho pensato di determinare la dimensione utilizzando il teorema del rango:
sapendo che la dimensione del dominio è 4 e che la dimensione del nucleo è 2 in virtù della formula $ dimV= dimKerf + dimImf $ allora posso dire che la dimensione dell' immagine è 2, da qui però non so come potrei procedere oltre...
Vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto che mi darete
Risposte
La dimensione dell'immagine è 2?
Bene, per scrivere una base basta trovare due vettori trasformati linearmente indipendenti, a tuo piacere, prova a trasformare due vettori della base di \(\displaystyle V \).
Se invece non vuoi sfruttare questo ragionamento devi considerare lo spazio delle colonne della matrice associata all'applicazione e prenderne due vettori linearmente indipendenti.
Bene, per scrivere una base basta trovare due vettori trasformati linearmente indipendenti, a tuo piacere, prova a trasformare due vettori della base di \(\displaystyle V \).
Se invece non vuoi sfruttare questo ragionamento devi considerare lo spazio delle colonne della matrice associata all'applicazione e prenderne due vettori linearmente indipendenti.
Allora, ci ho riflettuto su e ho pensato di usare questo metodo:
-mi trovo un elemento dell' immagine qualunque, ovvero fissati $ a,b,d $ . Ad esempio:
Se $ a=0\ \ \ \ b=1\ \ \ \d=2 $ allora il vettore nell' immagine sarà $ (1,4,5) $ a questo punto cerco un altro vettore linearmente indipendente da questo che però sia immagine di un vettore del dominio, quindi mi posso scrivere la matrice:
$ ( ( 1, 4 , 5 ),( -b'+d' , 2a'+2b'+d' , 2a'+b'+2d' ) ) $
a questo punto devo riuscire a ricavare il vettore studiando il rango di questa matrice, che deve essere =2 (per garantire l'indipendenza lineare). Posso quindi utilizzare il teorema degli orlati e cercare un minore di ordine massimo (che è appunto 2) e studiarne il determinante che deve essere diverso da 0:
$ | ( 1, 4),( -b'+d' , 2a'+2b'+d' ) | != 0 $ che quindi si risolve nella formula :
$ 2a'+2b'+d'+4b'-4d'= 2a'+6b'-3d' !=0 $
Quindi mi basta trovare $ a',b',d' $ che soddisfino questa relazione e trovo, ad esempio, $ a'=1,b'=3,d'=6 $ che, se ne faccio l'immagine trovo: $ (3,14,17) $ . A questo punto posso dire di aver trovato la base dell' immagine che è rappresentata dai vettori $ (3,14,17)\ \ e \ \ (1,4,5) $ .
Ianero ti ringrazio per l'aiuto, ti chiedo se secondo te il ragionamento che ho seguito è corretto
-mi trovo un elemento dell' immagine qualunque, ovvero fissati $ a,b,d $ . Ad esempio:
Se $ a=0\ \ \ \ b=1\ \ \ \d=2 $ allora il vettore nell' immagine sarà $ (1,4,5) $ a questo punto cerco un altro vettore linearmente indipendente da questo che però sia immagine di un vettore del dominio, quindi mi posso scrivere la matrice:
$ ( ( 1, 4 , 5 ),( -b'+d' , 2a'+2b'+d' , 2a'+b'+2d' ) ) $
a questo punto devo riuscire a ricavare il vettore studiando il rango di questa matrice, che deve essere =2 (per garantire l'indipendenza lineare). Posso quindi utilizzare il teorema degli orlati e cercare un minore di ordine massimo (che è appunto 2) e studiarne il determinante che deve essere diverso da 0:
$ | ( 1, 4),( -b'+d' , 2a'+2b'+d' ) | != 0 $ che quindi si risolve nella formula :
$ 2a'+2b'+d'+4b'-4d'= 2a'+6b'-3d' !=0 $
Quindi mi basta trovare $ a',b',d' $ che soddisfino questa relazione e trovo, ad esempio, $ a'=1,b'=3,d'=6 $ che, se ne faccio l'immagine trovo: $ (3,14,17) $ . A questo punto posso dire di aver trovato la base dell' immagine che è rappresentata dai vettori $ (3,14,17)\ \ e \ \ (1,4,5) $ .
Ianero ti ringrazio per l'aiuto, ti chiedo se secondo te il ragionamento che ho seguito è corretto
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