PROBLEM ... Cambiamenti di base

[peppeunummiruunu]

Ciao a tutti ragazzi,
ho dei problemi circa i cambiamenti di base. In particolare, se devo effettuare un cambio di base in $ R^3 $
da una base arbitraria ( non canonica) $ (v_1,v_2, v_3) $
in base canonica $ (e_1, e_2, e_3) $
come sarà formata la matrice cambiamento di base? Come dovrei esprimere i vettori della prima base rispetto all altra?
Aiutatemi con qualche esempio semplice e evidenziando i passaggi, sono tanto tanto confuso

[Maci86]

Due modi standard:
1) Sai come scrivere i vettori della base $V$ rispetto alla base canonica $C$:
$v_1= alpha_1 e_1 + beta_1 e_2 + gamma_1 e_3$
$v_2= alpha_2 e_1 + beta_2 e_2 + gamma_2 e_3$
$v_1= alpha_3 e_1 + beta_3 e_2 + gamma_3 e_3$
Allora la matrice di cambiamento di base sarà:
$((alpha_1,alpha_2,alpha_3),(beta_1,beta_2,beta_3),(gamma_1,gamma_2,gamma_3))$
2) Sai come scrivere i vettori della base canonica $C$ tramite i vettori della base $V$:
$e_1= alpha_1 v_1 + beta_1 v_2 + gamma_1 v_3$
$e_2= alpha_2 v_1 + beta_2 v_2 + gamma_2 v_3$
$e_1= alpha_3 v_1 + beta_3 v_2 + gamma_3 v_3$
Allora la matrice di cambiamento di base sarà:
$((alpha_1,alpha_2,alpha_3),(beta_1,beta_2,beta_3),(gamma_1,gamma_2,gamma_3))^-1$