Prob Matrici. kernel e 2 incognite libere???
Ciao a tutti.
Vorrei chiedere come si fa questa matrice che a me esce con due incognite libere che non so gestire perchè non le ho mai fatte.
[x1-x2+x3 ; x1-x2+x3 ; x1-x2+x3] . Dovrei determinare una base del kernel????
Se potete fare gli ultimi passaggi, grazie.
Vorrei chiedere come si fa questa matrice che a me esce con due incognite libere che non so gestire perchè non le ho mai fatte.
[x1-x2+x3 ; x1-x2+x3 ; x1-x2+x3] . Dovrei determinare una base del kernel????
Se potete fare gli ultimi passaggi, grazie.
Risposte
Se capisco bene l'esercizio, per trovare il kernel dovrai risolvere il sistema :
$ x_1-x_2+x_3 = 0 $
$x_1-x_2+x_3 = 0 $
$x_1-x_2+x_3 = 0$
sistema di 3 equazioni in 3 incognite ; ma le equazioni sono tutte uguali quindi il sistema si riduce a una equazione in 3 incognite :
$ x_1-x_2+x_3 = 0 $
ci saranno quindi 2 variabili libere e 1 vincolata , ad esempio
$x_1 = x_1 ; x_2 = x_2 ; x_3 = x_2-x_1 $ essendo $ x_1, x_2 $ libere
e quindi il vettore appartenete al Kernel sarà del tipo ( $ a,b,b-a ) $ con $ a,b in R $; chiaramente dim ker = 2 :
Una base sarà allora :
*pongo : $ a = 1 , b= 0 $ e ottengo : $(1,0,-1) $
*pongo : $ a=0, b=1 $ e ottengo : $ ( 0,1,1 ) $ .
Una base sarà quindi : $((1,0,-1);(0,1,1)) $.
Camillo
$ x_1-x_2+x_3 = 0 $
$x_1-x_2+x_3 = 0 $
$x_1-x_2+x_3 = 0$
sistema di 3 equazioni in 3 incognite ; ma le equazioni sono tutte uguali quindi il sistema si riduce a una equazione in 3 incognite :
$ x_1-x_2+x_3 = 0 $
ci saranno quindi 2 variabili libere e 1 vincolata , ad esempio
$x_1 = x_1 ; x_2 = x_2 ; x_3 = x_2-x_1 $ essendo $ x_1, x_2 $ libere
e quindi il vettore appartenete al Kernel sarà del tipo ( $ a,b,b-a ) $ con $ a,b in R $; chiaramente dim ker = 2 :
Una base sarà allora :
*pongo : $ a = 1 , b= 0 $ e ottengo : $(1,0,-1) $
*pongo : $ a=0, b=1 $ e ottengo : $ ( 0,1,1 ) $ .
Una base sarà quindi : $((1,0,-1);(0,1,1)) $.
Camillo
GRAZIE.
Quindi la dimensione del kernel da il numero di vettori---->>>(1,0,-1);(0,1,1)) ??
Quindi essendo dim(Ker)=2 ??. I numeri sono presi a caso??
Quindi la dimensione del kernel da il numero di vettori---->>>(1,0,-1);(0,1,1)) ??
Quindi essendo dim(Ker)=2 ??. I numeri sono presi a caso??
Poichè dim ker = 2 [ il sistema ha 2 variabili indipendenti ] , allora le basi saranno composte da 2 vettori linearmente indipendenti del tipo indicato , cioè :
$ (a ,b , b-a ) $ ; per trovare una base posso assegnare qualunque valore ad a , b ( basta che non siano entrambi nulli ) ; per semplicità di conti si sceglie uno dei parametri = 0, l'altro = 1 e poi viceversa .
Si poteva anche scegliere benissimo :
* $ a = -2 , b = 1 $ e quindi il primo vettore della base : $(-2,1,3) $
* $ a = 3 ; b = -5 $ e quindi il secondo vettore della base : $(3, -5, -8 ) $ e la base è così costituita da :
$ (( -2,1,3);(3,-5,-8) ) $ , chiamiamola " seconda base " .
Ci sono infinite differenti basi .
Combinando linearmente questi due vettori ottengo tutti i vettori di ker ; così come combinando linearmente ( naturalmente con coefficienti di proporzionalità diversi ) i vettori $ ((1,0,-1);(0,1,1))$ della " prima base " ottengo tutti i vettori di ker .
Esempio :
considero un vettore di ker , e quindi del tipo : $ ( a,b,b-a) $ , ad es. $ ( 3,2-1) $ ; come lo esprimo come combinazione lineare dei vettori della " prima base " ?
Basta determinare $ alpha, beta $ risolvendo : $ (3,2,-1) = alpha*(1,0,-1) +beta*(0,1,1) $ e quindi il sistema :
$ alpha = 3 ; beta = 2 ; -alpha+beta = -1 $ da cui :
$ alpha = 3; beta = 2 $ .
Perciò : $ (3,2,-1) = 3*(1,0,-1) +2* ( 0,1,1) $.
Come esprimo adesso lo stesso vettore di ker $ ( 3,2,-1 ) $ come combinazione dei vettori della " seconda base " ?
Risolvendo : $(3,2,-1) = alpha*(-2,1,3) +beta*(3,-5,-8) $ e quindi il sistema :
$ -2 alpha +3 beta = 3 ; alpha -5 beta = 2 ; 3 alpha -8 beta = -1 $ da cui $ alpha = -3 ; beta = -1 $ e quindi :
$ ( 3,2,-1) = -3*(-2,1,3) -1*(3,-5,-8) $.
Camillo
$ (a ,b , b-a ) $ ; per trovare una base posso assegnare qualunque valore ad a , b ( basta che non siano entrambi nulli ) ; per semplicità di conti si sceglie uno dei parametri = 0, l'altro = 1 e poi viceversa .
Si poteva anche scegliere benissimo :
* $ a = -2 , b = 1 $ e quindi il primo vettore della base : $(-2,1,3) $
* $ a = 3 ; b = -5 $ e quindi il secondo vettore della base : $(3, -5, -8 ) $ e la base è così costituita da :
$ (( -2,1,3);(3,-5,-8) ) $ , chiamiamola " seconda base " .
Ci sono infinite differenti basi .
Combinando linearmente questi due vettori ottengo tutti i vettori di ker ; così come combinando linearmente ( naturalmente con coefficienti di proporzionalità diversi ) i vettori $ ((1,0,-1);(0,1,1))$ della " prima base " ottengo tutti i vettori di ker .
Esempio :
considero un vettore di ker , e quindi del tipo : $ ( a,b,b-a) $ , ad es. $ ( 3,2-1) $ ; come lo esprimo come combinazione lineare dei vettori della " prima base " ?
Basta determinare $ alpha, beta $ risolvendo : $ (3,2,-1) = alpha*(1,0,-1) +beta*(0,1,1) $ e quindi il sistema :
$ alpha = 3 ; beta = 2 ; -alpha+beta = -1 $ da cui :
$ alpha = 3; beta = 2 $ .
Perciò : $ (3,2,-1) = 3*(1,0,-1) +2* ( 0,1,1) $.
Come esprimo adesso lo stesso vettore di ker $ ( 3,2,-1 ) $ come combinazione dei vettori della " seconda base " ?
Risolvendo : $(3,2,-1) = alpha*(-2,1,3) +beta*(3,-5,-8) $ e quindi il sistema :
$ -2 alpha +3 beta = 3 ; alpha -5 beta = 2 ; 3 alpha -8 beta = -1 $ da cui $ alpha = -3 ; beta = -1 $ e quindi :
$ ( 3,2,-1) = -3*(-2,1,3) -1*(3,-5,-8) $.
Camillo
GRAZIE.
Invece come trovo P tale che tPAP sia una matrice diagonale, data la matrice quadrata(3*3) A=[x2, x1, 0]
Qui non riesco a capire come trovo P dato che un autovalore a molteplicità algebrica=2 e quindi non so come fare un 'altra base dello stesso autovalore(lambda).
Invece come trovo P tale che tPAP sia una matrice diagonale, data la matrice quadrata(3*3) A=[x2, x1, 0]
Qui non riesco a capire come trovo P dato che un autovalore a molteplicità algebrica=2 e quindi non so come fare un 'altra base dello stesso autovalore(lambda).
puoi rispondere perfavore.
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