Prima dimostrazioncina
Ciao a tutti!! Devo mostrare che se \(\displaystyle V/K \) è uno spazio vettoriale e \(\displaystyle a\in K \), allora \(\displaystyle a\mathbf{0}=\mathbf{0} \). Solo che sono ancora molto scarso con le dimostrazioni anche banali! 
La mia proposta: \(\displaystyle a\mathbf{0}=a(\mathbf{0}+\mathbf{0})=a\mathbf{0}+a\mathbf{0}=2a\mathbf{0} \Leftrightarrow a\mathbf{0}=\mathbf{0} \)
Che dite, è okay? Sto pian pianino (molto piano) attraversando il Lang per imparare un po' di algebra lineare in modo serio, questo è il primo esercizio che faccio!
Posso anche reciclare la stessa dimostrazione per \(\displaystyle \mathbf{v}\mathbf{0}=\mathbf{0} \)?
Grazie in anticipo!
La mia proposta: \(\displaystyle a\mathbf{0}=a(\mathbf{0}+\mathbf{0})=a\mathbf{0}+a\mathbf{0}=2a\mathbf{0} \Leftrightarrow a\mathbf{0}=\mathbf{0} \)
Che dite, è okay? Sto pian pianino (molto piano) attraversando il Lang per imparare un po' di algebra lineare in modo serio, questo è il primo esercizio che faccio!
Posso anche reciclare la stessa dimostrazione per \(\displaystyle \mathbf{v}\mathbf{0}=\mathbf{0} \)?
Grazie in anticipo!
Risposte
Intanto che ci sono riporterei anche un esercizio collegato per cui forse non vale la pena di aprire un nuovo topic: supponendo invece \(\displaystyle a\ne 0 \), si ha che \(\displaystyle a\mathbf{v}=\mathbf{0} \) implica \(\displaystyle \mathbf{v}=\mathbf{0} \).
(Tra parentesi, odio questi problemi, che sembrano così ovvi ma non sono mai sicuro su come mostrare che sono veri in modo rigoroso!)
Tentativo: \(\displaystyle a\mathbf{v}=\mathbf{0}=a\mathbf{0} \Rightarrow a\mathbf{v}=a\mathbf{0} \Leftrightarrow \mathbf{v}=\mathbf{0} \)
Va già bene così?
(Tra parentesi, odio questi problemi, che sembrano così ovvi ma non sono mai sicuro su come mostrare che sono veri in modo rigoroso!)
Tentativo: \(\displaystyle a\mathbf{v}=\mathbf{0}=a\mathbf{0} \Rightarrow a\mathbf{v}=a\mathbf{0} \Leftrightarrow \mathbf{v}=\mathbf{0} \)
Va già bene così?
Se $ a in K , vec(0) in V $
$ vec(0) + vec(0) = vec(0) $
$ a (vec(0) + vec(0)) = a vec(0) $
$ a vec(0) + a vec(0) = a vec(0) $
sia $ w $ il vettore opposto di $ a vec(0) $ cioè t.c. $ a vec(0) + w = vec(0) $
$ (a vec(0) + a vec(0)) + w = a vec(0) + w $
$ a vec(0) + (a vec(0) + w) = vec(0) $
$ a vec(0) + vec(0) = vec(0) $
$ a vec(0) = vec(0) $
Dietro ogni passaggio c'è una specifica proprietà degli spazi vettoriali.
Per la seconda domanda immagino volessi intendere non $ v vec(0) = vec(0) $ ma $ 0 v= vec(0) $ (cioè il prodotto dello scalare zero, che è l'elemento neutro della somma nel campo, per il vettore $v$ è uguale al vettore nullo) e la dimostrazione è analoga a quella scritta sopra.
$ vec(0) + vec(0) = vec(0) $
$ a (vec(0) + vec(0)) = a vec(0) $
$ a vec(0) + a vec(0) = a vec(0) $
sia $ w $ il vettore opposto di $ a vec(0) $ cioè t.c. $ a vec(0) + w = vec(0) $
$ (a vec(0) + a vec(0)) + w = a vec(0) + w $
$ a vec(0) + (a vec(0) + w) = vec(0) $
$ a vec(0) + vec(0) = vec(0) $
$ a vec(0) = vec(0) $
Dietro ogni passaggio c'è una specifica proprietà degli spazi vettoriali.
Per la seconda domanda immagino volessi intendere non $ v vec(0) = vec(0) $ ma $ 0 v= vec(0) $ (cioè il prodotto dello scalare zero, che è l'elemento neutro della somma nel campo, per il vettore $v$ è uguale al vettore nullo) e la dimostrazione è analoga a quella scritta sopra.
Per la seconda puoi fare
$avec(0)=a(0*vec(v))=(a*0)vec(v)=0*vec(v),forallv inV$
Quindi ti basta provare che $0*vec(v)=vec(0),forallv inV$
$avec(0)=a(0*vec(v))=(a*0)vec(v)=0*vec(v),forallv inV$
Quindi ti basta provare che $0*vec(v)=vec(0),forallv inV$
Ciao e grazie ad entrambi! Apprezzo molto le vostre risposte. Riuscireste ad indicarmi perché le dimostrazioni da me fornite falliscono nel loro intento? Più che dimostrazioni di altri preferirei arrivare a scriverle sempre da me. Questo è lo spirito con cui posto questi esercizi!
Per ultimare la tua dimostrazione ti manca in ogni caso una piccolezza!
Propongo di usare quest'altro fatto:
"Sia $V(K)$ uno spazio vettoriale e $u,v$ due suoi elementi. Allora l'unico vettore $x$ per cui $x+u=v$ è $x=v-u$" (esercizio
)
Ciò dunque essendo tu arrivato a $aO+aO=aO$ trai $aO=aO-aO=(a-a)O=0O=O$
Propongo di usare quest'altro fatto:
"Sia $V(K)$ uno spazio vettoriale e $u,v$ due suoi elementi. Allora l'unico vettore $x$ per cui $x+u=v$ è $x=v-u$" (esercizio
)Ciò dunque essendo tu arrivato a $aO+aO=aO$ trai $aO=aO-aO=(a-a)O=0O=O$
Ho capito. Non basta per concludere da dove sono arrivato io osservare che l'unico numero che moltiplicato per due restituisce se stesso è lo zero? Forse non è ideale perché non fa uso di un'esplicita proprietà degli spazi vettoriali già dimostrata, però a livello logico dovrebbe filare...
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