Precisazione su endomorfismi.
Ciao a tutti,
ho da chiedervi una precisazione sul seguente esercizio:
Bene, incomincio con il considerare i vettori:
$v_1=((1),(0),(0),(-1)); v_2=((0),(1),(0),(1));v_3=((1),(h-1),(0),(0));v_4=((1),(h+1),(0),(2))$
Però mi è stato detto che questo passaggio non posso farlo se prima non indico l'endomorfismo che prendo in considerazione. Ovvero? Cosa dovrei indicare prima?
ho da chiedervi una precisazione sul seguente esercizio:
Bene, incomincio con il considerare i vettori:
$v_1=((1),(0),(0),(-1)); v_2=((0),(1),(0),(1));v_3=((1),(h-1),(0),(0));v_4=((1),(h+1),(0),(2))$
Però mi è stato detto che questo passaggio non posso farlo se prima non indico l'endomorfismo che prendo in considerazione. Ovvero? Cosa dovrei indicare prima?
Risposte
Una tua idea? 
Mah... sinceramente non ho ben capito cosa devo specificare prima di quel passaggio. Forse che considero un'applicazione linerare $f:V rarr RR^4$ che manda una base di $V$ nello spazio $RR^4$?
Ci sei quasi: ti serve un endomorfismo invertibile, ovvero un isomorfismo:
dove il vettore a codominio corrisponde al vettore delle componenti rispetto alla base $mathcalB={a,b,c,d}$:
$f: RR^4->RR^4$ tale che
$alphaa+betab+gammac+deltad |-> ((alpha),(beta),(gamma),(delta)), qquad alpha,beta, gamma, delta in RR$
$alphaa+betab+gammac+deltad |-> ((alpha),(beta),(gamma),(delta)), qquad alpha,beta, gamma, delta in RR$
dove il vettore a codominio corrisponde al vettore delle componenti rispetto alla base $mathcalB={a,b,c,d}$:
$ [(v_i)]_B:=((alpha),(beta),(gamma),(delta))$
Ok. Però, dopo questa precisazione, il passaggio successivo è ottenere questo:
$ v_1=((1),(0),(0),(-1)); v_2=((0),(1),(0),(1));v_3=((1),(h-1),(0),(0));v_4=((1),(h+1),(0),(2)) $
Giusto?
$ v_1=((1),(0),(0),(-1)); v_2=((0),(1),(0),(1));v_3=((1),(h-1),(0),(0));v_4=((1),(h+1),(0),(2)) $
Giusto?
Beh si; l'isomorfismo fa proprio quello: prende $v_1$ scritto come C.L. della base $mathcalB$ e manda le componenti in una quadrupla.
In linea generica, le componenti si determinano tramite la risoluzione di un sistema lineare:
In questo caso particolare le componenti sono evidenti a occhio; infatti si ha banalmente
quindi non faccio altro che incolonnare ordinatamente in un vettore di $RR^4$ i coefficienti della combinazione lineare:
Non capisco perchè tanta preoccupazione: il procedimento è analogo al calcolo delle matrice del cambiamento di base $M_(BA)(Id)$ (con $mathcal(A,B)$ basi generiche)
In linea generica, le componenti si determinano tramite la risoluzione di un sistema lineare:
$alpha ula+betaulb+gammaulc+deltauld=v_1=ula-uld$
In questo caso particolare le componenti sono evidenti a occhio; infatti si ha banalmente
${ (alpha=1 ),(beta=0 ),(gamma=0),(delta=-1):}$
quindi non faccio altro che incolonnare ordinatamente in un vettore di $RR^4$ i coefficienti della combinazione lineare:
$f: RR^4->RR^4$
$ula-uld|-> ((1),(0),(0),(-1))$
$ula-uld|-> ((1),(0),(0),(-1))$
Non capisco perchè tanta preoccupazione: il procedimento è analogo al calcolo delle matrice del cambiamento di base $M_(BA)(Id)$ (con $mathcal(A,B)$ basi generiche)
Nessuna preoccupazione, o meglio, non più ora! 
Semplicemente mi era stata fatta una correzione su questo esercizio un po' troppo generica e quindi pensavo di aver tralasciato qualcosa di ben più articolato nella soluzione.
Grazie mille!
Semplicemente mi era stata fatta una correzione su questo esercizio un po' troppo generica e quindi pensavo di aver tralasciato qualcosa di ben più articolato nella soluzione.
Grazie mille!
"BRN":
Bene, incomincio con il considerare i vettori:
$v_1=((1),(0),(0),(-1)); v_2=((0),(1),(0),(1));v_3=((1),(h-1),(0),(0));v_4=((1),(h+1),(0),(2))$
Non ti ha dato tre vettori specifici...ti ha dato una base generica.
La prima cosa da fare è vedere quale vettore v è comb. lineare di chi rispetto a quella base generica.
$v_1$ e $v_2$ sono chiaramente indipendenti (dimostrarlo è banale)
Poi ti chiedi $alphav_1+betav_2 = v_3$? E scoprirai che, per h=2, $v_3=v_1+v_2$
Adesso passi a chiederti se per $h!=2$ $alphav_1+betav_2+gammav_3 = v_4$?
Qua ti faccio qualche passaggio così vedi come si analizza in generale (valido anche per i due passi precedenti).
Sostituendo e raccogliendo otterrai l'identità $(alpha+gamma)a+(beta+(h-1)gamma)b+(beta-alpha)d=a+(h+1)b+2d$
Affinchè sia un'identità allora $ { ( alpha+gamma=1 ),( beta+(h-1)gamma=h+1 ),( beta-alpha=2 ):} $
Risolvi ed ottieni che, per $h!=2$, allora $2v_2+v_3=v_4$
Nel caso $h=2$ invece, dato che $v_3$ è comb. lineare di $v_1$ e $v_2$ allora devi usare solo quest'ultimi e verificare se $alphav_1+betav_2=a+3b+2d$ e scoprirai che è vero. Quindi il vettore $v_4$ è sempre combinazione lineare indipendentemente da h. In un caso è comb. lineare dei primi tre, nel secondo è comb, lineare dei primi due.
Riassumendo, per $h=2$ la base $V={v_1,v_2,v_3,v_4}$ ha dimensione 2 (solo i primi due vettori sono indipendenti).
Mentre per $h !=2$ la base $V={v_1,v_2,v_3,v_4}$ ha dimensione 3 (solo i primi tre vettori sono indipendenti).
Poi passi ad analizzare w nei due casi e usando solo i vettori indipendenti a scoprirai che w è comb. lineare solo per $h!=2$, ovvero dei primi tre vettori della base.
Grazie Bokonon, con la tua spiegazione hai sostanzialmente confermato i miei risultati!
per il punto 1) avevo semplicemente studiato il rango della matrice composta dai vettori $v_1,v_2,v_3,v_4$ usando il metodo di eliminazione di Gauss e la posizione dei pivot, mentre per il punto 2) ho semplicemente studiato la risolubilità del sistema $av_1+bv_2+cv_3+dv_4=w$ calcolando il rango della matrice completa e della matrice incompleta, ottenendo che per $h!=2$ esistono $oo^1$ soluzioni.
Il mio problema nasceva dal fatto di non aver indicato l'endomorfismo di cui sopra e stando alla correzione fatta dal docente, sembrava che l'avessi sbagliato iteramente. Invece l'ho svolto correttamente, dimenticanza a parte...
Grazie a tutti e due!
per il punto 1) avevo semplicemente studiato il rango della matrice composta dai vettori $v_1,v_2,v_3,v_4$ usando il metodo di eliminazione di Gauss e la posizione dei pivot, mentre per il punto 2) ho semplicemente studiato la risolubilità del sistema $av_1+bv_2+cv_3+dv_4=w$ calcolando il rango della matrice completa e della matrice incompleta, ottenendo che per $h!=2$ esistono $oo^1$ soluzioni.
Il mio problema nasceva dal fatto di non aver indicato l'endomorfismo di cui sopra e stando alla correzione fatta dal docente, sembrava che l'avessi sbagliato iteramente. Invece l'ho svolto correttamente, dimenticanza a parte...
Grazie a tutti e due!
"BRN":
Grazie Bokonon, con la tua spiegazione hai sostanzialmente confermato i miei risultati!
per il punto 1) avevo semplicemente studiato il rango della matrice composta dai vettori $v_1,v_2,v_3,v_4$ usando il metodo di eliminazione di Gauss e la posizione dei pivot, mentre per il punto 2) ho semplicemente studiato la risolubilità del sistema $av_1+bv_2+cv_3+dv_4=w$ calcolando il rango della matrice completa e della matrice incompleta, ottenendo che per $h!=2$ esistono $oo^1$ soluzioni.
Il mio problema nasceva dal fatto di non aver indicato l'endomorfismo di cui sopra e stando alla correzione fatta dal docente, sembrava che l'avessi sbagliato iteramente. Invece l'ho svolto correttamente, dimenticanza a parte...
Grazie a tutti e due!
Ma non dovevi usare una base costruita...potevi (e dovevi) farlo senza! Hai usato Gauss-Jordan e non avresti dovuto usarlo...
Non ho capito...
Quale sarebbe la differenza tra i due metodi? Perchè non avrei dovuto usare Gauss?
Quale sarebbe la differenza tra i due metodi? Perchè non avrei dovuto usare Gauss?
"BRN":
Non ho capito...
Quale sarebbe la differenza tra i due metodi? Perchè non avrei dovuto usare Gauss?
Perchè ti aveva dato una base generica...astratta. Era un problema da risolvere usando solo il concetto di comb. lineare IMHO.
@BRN: Il calcolo del rango della matrice contenente le componenti dei vettori rispetto alla base data è un buon procedimento. 
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