Potenze di una matrice
Buongiorno.
Ho qualche problema a calcolare la potenza n-esima di una matrice quadrata MxM. Vorrei ottenere la formula che mi consenta di calcolare la potenza della matrice per ogni valore di n. Il testo che sto consultando dice prima di tutto di calcolare gli autovalori e poi di calcolare ciascuno coefficiente della matrice potenza mediante la formula:
$p_(ij)^(n) = a_1*\lambda_1^n+a_2*\lambda_2^n+....+a_M*\lambda_M^n$
La domanda che volevo porvi è la seguente:
- se la molteplicità algebrica di qualcuno degli autovalori è maggiore di 1, la formula è ancora valida oppure ne devo usare un'altra?
- Cosa succede se la molteciplità algebrica di un autovalore dovesse essere 2 o 3 o 4 ...etc...?
Grazie
Ho qualche problema a calcolare la potenza n-esima di una matrice quadrata MxM. Vorrei ottenere la formula che mi consenta di calcolare la potenza della matrice per ogni valore di n. Il testo che sto consultando dice prima di tutto di calcolare gli autovalori e poi di calcolare ciascuno coefficiente della matrice potenza mediante la formula:
$p_(ij)^(n) = a_1*\lambda_1^n+a_2*\lambda_2^n+....+a_M*\lambda_M^n$
La domanda che volevo porvi è la seguente:
- se la molteplicità algebrica di qualcuno degli autovalori è maggiore di 1, la formula è ancora valida oppure ne devo usare un'altra?
- Cosa succede se la molteciplità algebrica di un autovalore dovesse essere 2 o 3 o 4 ...etc...?
Grazie
Risposte
Grazie per la risposta Sergio.
La domanda che però volevo porti era un'altra. Ora vedo di spiegarmi meglio.
La formula che consente di calcolare il coefficiente di posto (i,j) della matrice potenza n-esima è la seguente:
$ p_(ij)^(n) = a_1*\lambda_1^n+a_2*\lambda_2^n+....+a_M*\lambda_M^n $
dove $\lambda_1$ ,$\lambda_2$,...,$\lambda_M$ sono gli autovalori della matrice quadrata MxM.
Questa formula è valida solo quando tutti e M gli autovalori sono distinti, cioè hano tutti molteplicità algebrica uguale a 1.
La domanda è: come cambia questa formula se invece gli autovalori non sono tutti disitinti?
Quello che so per certo è che, se per esempio $\lambda_1$ ha molteciplità algebrica 2 e $\lambda_1=\lambda_2$, la formula NON diventa banalmente:
$ p_(ij)^(n) = (a_1+a_2)*\lambda_1^n+a_3*\lambda_3^n+....+a_M*\lambda_M^n $
ma è diversa.
Grazie ancora.
La domanda che però volevo porti era un'altra. Ora vedo di spiegarmi meglio.
La formula che consente di calcolare il coefficiente di posto (i,j) della matrice potenza n-esima è la seguente:
$ p_(ij)^(n) = a_1*\lambda_1^n+a_2*\lambda_2^n+....+a_M*\lambda_M^n $
dove $\lambda_1$ ,$\lambda_2$,...,$\lambda_M$ sono gli autovalori della matrice quadrata MxM.
Questa formula è valida solo quando tutti e M gli autovalori sono distinti, cioè hano tutti molteplicità algebrica uguale a 1.
La domanda è: come cambia questa formula se invece gli autovalori non sono tutti disitinti?
Quello che so per certo è che, se per esempio $\lambda_1$ ha molteciplità algebrica 2 e $\lambda_1=\lambda_2$, la formula NON diventa banalmente:
$ p_(ij)^(n) = (a_1+a_2)*\lambda_1^n+a_3*\lambda_3^n+....+a_M*\lambda_M^n $
ma è diversa.
Grazie ancora.
Il calcolo della potenza n-esima di una matrice quadrata A diagonalizzabile si può avere con la formula:
$A^n=BCB^{-1}$
dove B è la matrice che ha per colonne gli autovettori di A e C è la matrice che nella diagonale principale ha le potenze
n-esime degli autovalori di A e negli altri punti tutti zeri.
$A^n=BCB^{-1}$
dove B è la matrice che ha per colonne gli autovettori di A e C è la matrice che nella diagonale principale ha le potenze
n-esime degli autovalori di A e negli altri punti tutti zeri.
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