Potenze di matrici
su wikipedia ho trovato questa formula per calcolare le potenze di matrici:
$A^2=5A+2I_2$
$I_2$ è la matrice identità??
$A^2=5A+2I_2$
$I_2$ è la matrice identità??
Risposte
"leffy13":
su wikipedia ho trovato questa formula per calcolare le potenze di matrici:
$A^2=5A+2I_2$
Senti, secondo te è possibile che questa formula valga per ogni matrice $A$? Se fosse così il $5$ e il $2$ per le matrici sarebbero un po' come il $pi$ per il cerchio
(edito: a meno che tu non intendessi che quella formula faceva parte di un particolare esercizio proposto e/o risolto da Wikipedia).$I_2$ è la matrice identità??
Normalmente $I_2$ è la matrice identità $2 times 2$.
"leffy13":
su wikipedia ho trovato questa formula per calcolare le potenze di matrici:
$A^2=5A+2I_2$
$I_2$ è la matrice identità??
Non su wikipedia genericamente, ma qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Hamilton-Cayley
(Tra l'altro usato direttamente qui:
http://it.answers.yahoo.com/question/in ... 539AA2yIBI
si tratta di "Yahoo answers"...)
Come prevedeva Martino che e' giustamente rimasto sbigottito, persino su wikipedia questa formula viene fuori da un esempio.
Un po' piu' di accuratezza nello scrivere un post non farebbe male. Eviterebbe inutili perdite di tempo a chi cerca di risponderti.
Grazie per la comprensione.
Quanto alla risposta, l'ha gia' data Martino
scusatemi.
mi potete spiegare come si calcola la potenza n di una matrice??
mi potete spiegare come si calcola la potenza n di una matrice??
Alcuni suggerimenti utili li trovi su wikipedia, qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_esponenziale
Naturalmente, la definizione di potenza e' "sempre la stessa": $A^n = A * A * \ldots * A$, il prodotto di $A$ con se stessa fatto n volte.
http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_esponenziale
Naturalmente, la definizione di potenza e' "sempre la stessa": $A^n = A * A * \ldots * A$, il prodotto di $A$ con se stessa fatto n volte.
quando parla di $e^A$ e è il numero di Nepero??
"leffy13":
quando parla di $e^A$ e è il numero di Nepero??
Si.
Se non hai dimestichezza col numero di Nepero puoi vederla anche cosi': se A è diagonalizzabile allora esiste una matrice invertibile P tale che $D=P^{-1}AP$ sia una matrice diagonale. Ora elevare alla $n$ una matrice diagonale significa elevare ogni elemento della diagonale alla $n$ (questo è facile da dimostrare), e quindi $D^n$ lo sai fare facilmente. Allora osservi che
$A^n = (PDP^{-1})^n = (PDP^{-1})(PDP^{-1})...(PDP^{-1}) = PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)D...(P^{-1}P)DP^{-1} = PD^nP^{-1}$
dato che $P^{-1}P=I$. Quindi se conosci $P$ allora conosci $D$ e quindi $D^n$ (sapendo senza sforzi elevare gli elementi diagonali alla $n$) e quindi(moltiplicando) conosci anche senza sforzi eccessivi $A^n = PD^nP^{-1}$.
Naturalmente questo procedimento ti permette di calcolare facilmente potenze di matrici diagonalizzabili, ma non dice nulla su quelle non diagonalizzabili, per le quali riferisciti al link datoti da Fioravante.
si'
La matrice esponenziale viene fuori (ad esempio) dalla risoluzione di un sistema di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. In perfetta analogia con quanto avviene per l'equazione differenziale $y' = a y$ di cui una soluzione e' $y(x) = e^(ax)$.
La matrice esponenziale viene fuori (ad esempio) dalla risoluzione di un sistema di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. In perfetta analogia con quanto avviene per l'equazione differenziale $y' = a y$ di cui una soluzione e' $y(x) = e^(ax)$.
il professore non ha mai parlato di matrici diagonalizzabili, però un esercizio di un vecchio suo esame chiede di calcolare $A^5B^7$ dove A e B sono 2 matrici quadrate diverse. come fare?
"leffy13":
il professore non ha mai parlato di matrici diagonalizzabili, però un esercizio di un vecchio suo esame chiede di calcolare $A^5B^7$ dove A e B sono 2 matrici quadrate diverse. come fare?
Applichi la definizione
$A^5 B^7 = A * A * A * A * A * B * B * B * B * B * B * B$
Svolgi il prodotto di matrici.
Se $A$ e $B$ commutano (ovvero $AB=BA$) allora $A^5B^7 = (AB)^5B^2$ potrebbe fare meno paura.
eh già, grazie
Un metodo veloce per calcolare le potenze di una matrice, in verità, esisterebbe, ed è basato, essenzialmente, sull'impiego del teorema di Hamilton-Cayley.
Vero, non l'avevo mai rimarcato 
(avevo letto solo il primo dei due link di Fioravante).
(avevo letto solo il primo dei due link di Fioravante).
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