Potenze di matrici
Ciao a tutti avrei bisogno di una mano con questo esercizio:
(i) Sia \(\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n,n} \) una matrice tale che \(\displaystyle A^m = 0 \). Possiamo trovare gli autovalori di \(\displaystyle A \)? \(\displaystyle A \) è diagonalizzabile? E' possibile determinare univocamente \(\displaystyle A \)?
(ii) Ripetere l'esercizio precendente con \(\displaystyle A^m=I \). (Ricordare che \(\displaystyle \mathbb{R} \) e \(\displaystyle \mathbb{C} \) non sono uguali!)
Allora, per quanto riguarda il primo punto ho fatto così:
Sia \(\displaystyle A \) nilpotente di ordine \(\displaystyle m \) allora gli autovalori di \(\displaystyle A \) saranno tutti nulli:
\(\displaystyle A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} \)
\(\displaystyle A^m\mathbf{v}=\lambda^m\mathbf{v}=\mathbf{0}\)
\(\displaystyle \mathbf{v \neq 0} \Rightarrow \lambda^m = 0 \)
qed
Da cui posso rispondere alla seconda domanda così: l'unica matrice nilpotente diagonalizzabile è la matrice nulla.
Per quanto riguarda la terza domanda è ovvio che \(\displaystyle A \) non è univocamente determinata poiché qualsiasi multiplo di una matrice nilpotente di ordine \(\displaystyle m \) sarà nilpotente di ordine \(\displaystyle m \). Sono anche riuscito a dimostrare senza particolari problemi che matrici simili ad una matrice nilpotente sono anch'esse nilpotenti (dello stesso ordine di nilpotenza).
I problemi vengono ora, non ho la più pallida idea di come svolgere il punto (ii), qualcuno potrebbe darmi una mano per favore? (Potreste anche avvisarmi di eventuali stupidaggini che ho scrito qui sopra?) Grazie davvero del vostro aiuto, come al solito, molto prezioso!
(i) Sia \(\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n,n} \) una matrice tale che \(\displaystyle A^m = 0 \). Possiamo trovare gli autovalori di \(\displaystyle A \)? \(\displaystyle A \) è diagonalizzabile? E' possibile determinare univocamente \(\displaystyle A \)?
(ii) Ripetere l'esercizio precendente con \(\displaystyle A^m=I \). (Ricordare che \(\displaystyle \mathbb{R} \) e \(\displaystyle \mathbb{C} \) non sono uguali!)
Allora, per quanto riguarda il primo punto ho fatto così:
Sia \(\displaystyle A \) nilpotente di ordine \(\displaystyle m \) allora gli autovalori di \(\displaystyle A \) saranno tutti nulli:
\(\displaystyle A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} \)
\(\displaystyle A^m\mathbf{v}=\lambda^m\mathbf{v}=\mathbf{0}\)
\(\displaystyle \mathbf{v \neq 0} \Rightarrow \lambda^m = 0 \)
qed
Da cui posso rispondere alla seconda domanda così: l'unica matrice nilpotente diagonalizzabile è la matrice nulla.
Per quanto riguarda la terza domanda è ovvio che \(\displaystyle A \) non è univocamente determinata poiché qualsiasi multiplo di una matrice nilpotente di ordine \(\displaystyle m \) sarà nilpotente di ordine \(\displaystyle m \). Sono anche riuscito a dimostrare senza particolari problemi che matrici simili ad una matrice nilpotente sono anch'esse nilpotenti (dello stesso ordine di nilpotenza).
I problemi vengono ora, non ho la più pallida idea di come svolgere il punto (ii), qualcuno potrebbe darmi una mano per favore? (Potreste anche avvisarmi di eventuali stupidaggini che ho scrito qui sopra?) Grazie davvero del vostro aiuto, come al solito, molto prezioso!
Risposte
"LogicalCake":
(ii) Ripetere l'esercizio precendente con \(\displaystyle A^m=I \). (Ricordare che \(\displaystyle \mathbb{R} \) e \(\displaystyle \mathbb{C} \) non sono uguali!)
I problemi vengono ora, non ho la più pallida idea di come svolgere il punto (ii), qualcuno potrebbe darmi una mano per favore? (Potreste anche avvisarmi di eventuali stupidaggini che ho scrito qui sopra?) Grazie davvero del vostro aiuto, come al solito, molto prezioso!
$A^m-I=0$ da cui sai già che il polinomio minimo di $A$ (dato che è il generatore dei polinomi che si annullano in $A$) divide il polinomio $x^m-1$ da cui se $m$ è dispari ha come unica soluzione reale $1$ mentre se $m$ è pari ha come soluzioni reali $pm1$. Inoltre non è detto che $A$ sia diagonalizzabile infatti se prendo ad esempio $A=((0,1),(-1,0))$ non è diagonalizzabile in $RR$ ma $A^4=I$. E infine non è possibile determinare univocamente $A$ poichè se appunto ad esempio in un caso pongo $A_1=((0,1),(-1,0))$ e in un altro $A_2=((1,0),(0,1))$ entrambe soddisfano $A_1^4=A_2^4=I$, ma $A_1!=A_2$. Lascio a te capire quali sono i casi in cui è diagonalizzabile.
Immaginiamo di ruotare un vettore di un angolo $pi/m$ per m volte...
Poi a seconda del valore di $m>=2$ e del campo si ottengono risposte differenti...ma il semplice fatto che si possa ruotare in senso orario oppure antiorario risponde alla domanda sull'univocità.
Gli autovalori possono essere $+-1$ per le soluzioni reali. Giusto per darti un esempio non banalissimo, prendiamo $n=m=4$. Ora scrivo una matrice che riflette un vettore sul piano XY rispetto ad X e sul piano ZW rispetto a W. Dopo aver applicato la riflessione 4 volte dove si trova questo vettore? E quali autovalori avrà questa matrice?
Poi a seconda del valore di $m>=2$ e del campo si ottengono risposte differenti...ma il semplice fatto che si possa ruotare in senso orario oppure antiorario risponde alla domanda sull'univocità.
Gli autovalori possono essere $+-1$ per le soluzioni reali. Giusto per darti un esempio non banalissimo, prendiamo $n=m=4$. Ora scrivo una matrice che riflette un vettore sul piano XY rispetto ad X e sul piano ZW rispetto a W. Dopo aver applicato la riflessione 4 volte dove si trova questo vettore? E quali autovalori avrà questa matrice?
"Bokonon":
@andradel1998 Gli autovalori possono essere $+-1$ per le soluzioni reali. Giusto per darti un esempio non banalissimo, prendiamo $n=m=4$. Ora scrivo una matrice che riflette un vettore sul piano XY rispetto ad X e sul piano ZW rispetto a W. Dopo aver applicato la riflessione 4 volte dove si trova questo vettore? E quali autovalori avrà questa matrice?
E' quello che ho detto infatti
, nel caso $m$ pari. Comunque il vettore, dopo aver applicato la riflessione $4$ volte, si ritrova nella posizione iniziale e gli autovalori appunto sono $pm1$ dato che se prendo un vettore sul piano $XW$ esso rimane in se stesso (dato che le due riflessioni "non hanno effetto") mentre se un vettore si trova sul piano $YZ$ allora con le riflessioni viene mandato nel suo opposto.
Andreadel, scusami non era riferito a te.
Da telefonino è un casino scrivere mentre lavoro.
Ho fatto un mezzo disastro insomma.
Volevo citarti alla fine per dire che appunto il problema si risolve facilmente portando due controesempi.
Da telefonino è un casino scrivere mentre lavoro.
Ho fatto un mezzo disastro insomma.
Volevo citarti alla fine per dire che appunto il problema si risolve facilmente portando due controesempi.
"Bokonon":
Andreadel, scusami non era riferito a te.
Da telefonino è un casino scrivere mentre lavoro.
Ho fatto un mezzo disastro insomma.
Volevo citarti alla fine per dire che appunto il problema si risolve facilmente portando due controesempi.
A ok capito, non ti preoccupare
Per pura coincidenza, il mio canale preferito ha pubblicato 4 ore fa un video sul medesimo problema con delle restrizioni.
https://youtu.be/ZdXfgmxPfHI
https://youtu.be/ZdXfgmxPfHI
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