Potenza di matrice di permutazione

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Una matrice di permutazione $n×n$ che permuta due righe o colonne moltiplicata per se stessa vedo che dà ovviamente $I_n$. In particolare ovviamente se $P\in M_3(K)$ che permuta 2 righe o colonne è tale che $P^2=I_3$ e mi accorgo che una matrice di permutazione $P$ sempre 3×3 che scambia 3 righe o colonne è tale che $P^3=I_3$. Mi chiedevo se qualunque matrice di permutazione $P\in M_n(K)$ che permuta $k$ righe o colonne sia tale che $P^k=I_n$, ma, nonostante vari tentativi, non sono riuscito a dimostrarlo... Qualcuno ne sa di più? Ho cercato su Internet, ma non trovo granché...
$+oo$ grazie a tutti!!!

[elvis3]

Mediante il prodotto tra matrici, le matrici di permutazione \(n \times n\) costituiscono un gruppo (di importanza fondamentale) chiamato gruppo simmetrico su \(n\) oggetti. Credo che studiando le proprietà elementari e il funzionamento del gruppo simmetrico, si acquista maggiore consapevolezza su questioni del genere (in cui le matrici c'entrano poco).

In ogni caso,

Mi chiedevo se qualunque matrice di permutazione P∈Mn(K) che permuta k righe o colonne sia tale che Pk=In

In generale è falso: considera la matrice
\[ P =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\]
La matrice \(P\) scambia le prime due righe (o colonne) e permuta ciclicamente le restanti tre. Quindi il minimo \(k\) per cui \(P^k = I_n\) è \(k = 6\).

Il mio consiglio è di vedere come funziona il gruppo simmetrico.

[DavideGenova1]

$+oo$ grazie!!! Non vedo l'ora di arrivare ad affrontare il gruppo simmetrico sul Sernesi...