Potenza di matrice di permutazione

DavideGenova1
Ciao, amici! Una matrice di permutazione $n×n$ che permuta due righe o colonne moltiplicata per se stessa vedo che dà ovviamente $I_n$. In particolare ovviamente se $P\in M_3(K)$ che permuta 2 righe o colonne è tale che $P^2=I_3$ e mi accorgo che una matrice di permutazione $P$ sempre 3×3 che scambia 3 righe o colonne è tale che $P^3=I_3$. Mi chiedevo se qualunque matrice di permutazione $P\in M_n(K)$ che permuta $k$ righe o colonne sia tale che $P^k=I_n$, ma, nonostante vari tentativi, non sono riuscito a dimostrarlo... Qualcuno ne sa di più? Ho cercato su Internet, ma non trovo granché...
$+oo$ grazie a tutti!!!

Risposte
elvis3
Mediante il prodotto tra matrici, le matrici di permutazione \(n \times n\) costituiscono un gruppo (di importanza fondamentale) chiamato gruppo simmetrico su \(n\) oggetti. Credo che studiando le proprietà elementari e il funzionamento del gruppo simmetrico, si acquista maggiore consapevolezza su questioni del genere (in cui le matrici c'entrano poco).

In ogni caso,


Mi chiedevo se qualunque matrice di permutazione P∈Mn(K) che permuta k righe o colonne sia tale che Pk=In


In generale è falso: considera la matrice
\[ P =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\]
La matrice \(P\) scambia le prime due righe (o colonne) e permuta ciclicamente le restanti tre. Quindi il minimo \(k\) per cui \(P^k = I_n\) è \(k = 6\).

Il mio consiglio è di vedere come funziona il gruppo simmetrico.

DavideGenova1
$+oo$ grazie!!! Non vedo l'ora di arrivare ad affrontare il gruppo simmetrico sul Sernesi...

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