Posizioni reciproche tra rette

[ffeeddee95]

Al variare del parametro reale t, si considerino le seguenti rette dello spazio affine reale $A^3$(R)
r: $\{(x+z=1), (y-tz=0):}$ e s: $\{(x-z=-1), (y+tz=0) :}$ . Studiare la posizione reciproca delle rette, cioè per quali valori di t le rette sono sghembe, incidenti, parallele, coincidenti.
Vorrei sapere se il mio procedimento é giusto:
1) individuo le coordinate di un punto R $in$ r, S $in$ s, dove R=(x, y, z) e S=(x’, y’,z’)
2) determino i vettori direttori Vr=(l, m, n) e Vs=(l’, m’, n’)
3) calcolo il determinante della seguente matrice A: A= $ ((x-x’, y-y’, z-z’), (l, m, n), (l’, m’, n’))$ . Tutti i valori di t per cui il determinante è uguale a zero rendono le rette complanari; diverso da zero coincidenti.
4) ora considero quest’ altra matrice B: B= $((l, m, n), (l’, m’, n’))$ e ne calcolo il rango. I valori di t per cui il rango è 1 rendono le rette parallele, i valori per cui il rango è 2 rendono le rette incidenti.
Ha senso? Grazie!

[Quinzio]

"ffeeddee95":Al variare del parametro reale t, si considerino le seguenti rette dello spazio affine reale $A^3$(R)
r: $\{(x+z=1), (y-tz=0):}$ e s: $\{(x-z=-1), (y+tz=0) :}$ . Studiare la posizione reciproca delle rette, cioè per quali valori di t le rette sono sghembe, incidenti, parallele, coincidenti.
Vorrei sapere se il mio procedimento é giusto:
1) individuo le coordinate di un punto R $in$ r, S $in$ s, dove R=(x, y, z) e S=(x’, y’,z’)
2) determino i vettori direttori Vr=(l, m, n) e Vs=(l’, m’, n’)
3) calcolo il determinante della seguente matrice A: A= $ ((x-x’, y-y’, z-z’), (l, m, n), (l’, m’, n’))$ . Tutti i valori di t per cui il determinante è uguale a zero rendono le rette complanari; diverso da zero coincidenti.

No....
$det = 0$: rette parallele/complanari. In questo caso i termini sono equivalenti.
$det \ne 0$: rette non parallele/complanari.

4) ora considero quest’ altra matrice B: B= $((l, m, n), (l’, m’, n’))$ e ne calcolo il rango. I valori di t per cui il rango è 1 rendono le rette parallele, i valori per cui il rango è 2 rendono le rette incidenti.

No.. non e' esatto.

Mettiamo i due sistemi in forma matriciale

$\bb R ((x), (y), (z)) = k_r$

$\bb S ((x), (y), (z)) = k_s$

dove $k_r, k_s$ sono i termini noti.

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Allora:
troviamo la condizione di parallelismo.

Troviamo i vettori direttori risolvendo i due sistemi:

$\bb R v_r = 0$

$\bb S v_s = 0$

Se $v_r = kv_s$ con $k \ne 0 $ allora le rette sono parallele.
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Troviamo la condizione di incidenza.
Consideriamo quest'altra eq. matriciale:

$((R),(S)) p = ((k_r),(k_s))$

Se il sistema ha soluzione, allora le due rette hanno (almeno) un punto incidente.

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Mettiamo tutto insieme.

$((v_r= k v_s, \exists p, "risultato"), (NO, NO, "SGHEMBE"), (NO, SI, "INCIDENTI"), (SI, NO, "PARALLELE"), (SI, SI, "COINCIDENTI"))$

[ffeeddee95]

Grazie tante per la pazienza e per l’aiuto!