Posizione reciproca di due rette

[mamflo]

salve a tutti, mi servirebbe capire come stabilire la posizione reciproca di 2 rette, sopo che ne ho determinato le equazione parametriche partendo dai punti.
Quindi retta $ r $ punti $ A (2,3,1) $ e $ B (0,0,1) $

retta $ s $ punti $ C (0,0,0) $ e $ D (4,6,0) $

quindi le passo in forma parametrica usando:

$ { ( x=x_0+(x_1-x_0 )t ),( y=y_0+(y_1-y_0 )t ),( z=z_0+(z_1-z_0 )t ):} $

segue per la retta $ r $ :

$ { ( x=2+ (0-2)t ),( y=3+ (0-3)t ),( z=1+(1-1)t ):} $

$ { ( x=2-2t ),( y=3-3t ),( z=1 ):} $

per la retta $ s $ :

$ { ( x=4t ),( y=6t ),( z=0 ):} $

adesso come faccio a stabilire la posizione reciproca delle rette $ r $ ed $ s $ ?

vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.

[lordb]

Ciao,
la cosa migliore è passare dalla parametrica a quella cartesiana, otterrai due sistemi del tipo:

$r:{(a'x+b'y+c'z+d'=0),(a''x+b''y+c''z+d''=0):}$ e $s:{(a'''x+b'''y+c'''z+d'''=0),(a''''x+b''''y+c''''z+d''''=0):}$

Poi costruisci le matrici :

$A=((a',b',c'),(a'',b'',c'''),(a''',b''',c'''),(a'''',b'''',c''''))$

$C=((a',b',c',d'),(a'',b'',c'',d''),(a''',b''',c''',d'''),(a'''',b'''',c'''',d''''))$

Calcoli il rango di $A$ e quello di $C$ (dove ovviamente $rank(C)=rank(A) vv rank(C)=rank(A)+1$).

Trovato quanto vale $rank(A)$ e quanto vale $rank(C)$ apri il tuo bel libro di geometria e guardi la posizione reciproca delle rette in funzione del rango delle matrici $A$ e $C$.

[mamflo]

si ma dovrei farlo dalle equazioni parametriche, perchè me lo richiede l'esercizio e perchè proprio sul mio libro c'è scritto che il metodo in funzione del rango con equazioni cartesiane è piu difficile.

comunque io so che le 2 rette r e s sono parallele ai vettori $ i=(-2,-3,0) $ e $ j=(4,6,0) $ e passano rispettivamente per i punti $ p_1=(2,3,1) $ e $ O=(0,0,0) $ come faccio a concludere la loro posizione reciproca, che penso sia dire se sono sghembe, parallele, coincidenti o incidenti? dal libro non lo capisco, potrei disegnarle ma non credo che il metodo sia quello giusto.

[lordb]

Ah ok,
allora per prima cosa ci chiediamo se hanno delle intersezioni:

${(4v = 2-2t),(6v=3-3t),(0=1):}$

Ovviamente il sistema non ha soluzioni: sono disgiunte !!

Dobbiamo chiederci allora se sono parallele, i coefficienti direttori sono:

$vec v_r=(-2,-3,0)$ e $vec v_s=(4,6,0)$

Sono parallele se e solo se $vec v_r $ e $ vec v_s$ sono paralleli ovvero se $EE lambda in RR |vec v_r = lambda vec v_s $.

Ovviamente $(-2,-3,0)=-1/2(4,6,0) =>$ sono parallele.

Dunque la risposta è: $r$ e $s$ sono rette parallele disgiunte!

Ti faccio vedere anche l'altro procedimento:

$r:{(x=2-2t),(y=3-3t),(z=1):}-> t=1-y/3-> {(x=2-2(1-y/3)),(z=1):}->{(1*x-2/3*y=0),(1*z-1=0):}$

$s:{(x=4v),(y=6v),(z=0):}-> v=1/6y->{(1*x-2/3*y=0),(1*z=0):}$

$A=((1,-2/3,0),(0,0,1),(1,-2/3,0),(0,0,1))$ $C=((1,-2/3,0,0),(0,0,1,-1),(1,-2/3,0,0),(0,0,1,0))$

Poichè $A$ ha solo $2$ righe/colonne linearmente indipendenti $rank(A)=2$.

Poichè $C$ ha solo $3$ righe/colonne linearmente indipendenti $rank(C)=3$.

$rank(A)=2 ^^ rank(C)= 3 =>$ $r$ e $s$ parallele disgiunte.

[mamflo]

ho capito ti ringrazio moltissimo!! e grazie per avermi fatto vedere anche l'altro metodo sei stato veramente gentilissimo.

[lordb]

Di niente è stato un piacere