Polo di una retta - Geometria Analitica
Salve a tutti. Ho un problema sulla determinazione del polo di una retta. Posto il testo dell'esercizio
In E˜2(C):
• si riconosca la conica C : $x^2+y^2+4xy-2y+1=0$ e si determinino il centro, il fascio dei diametri e gli assi di C;
Risposta: Iperbole, centro $C = (2/3,-1/3)$ fascio: $(x + 2y)l + (2x + y − 1)m = 0$, assi: $3x + 3y − 1 = 0, x − y − 1 = 0$
Fin qui tutto ok. Mi propone poi una seconda richiesta:
• si determini il polo della retta r : $x + y = 0$ nella polarità indotta da C.
Risposta $P = (2, 1)$
Il problema su questa seconda parte che non riesco ad arrivare al punto P come da risposta.
Ciò che ho provato a fare è intersecare la retta r con la con C e trovo due punti d'intersezione; a questo punto traccio le polari di tali punti rispetto alla conica e poi le interseco in modo da trovare il polo della retta r visto che le polari dei punti di r passano per il polo di r per il principio di reciprocità.
Grazie a chi si interessa e sopratutto a chi risponde
Andrea
In E˜2(C):
• si riconosca la conica C : $x^2+y^2+4xy-2y+1=0$ e si determinino il centro, il fascio dei diametri e gli assi di C;
Risposta: Iperbole, centro $C = (2/3,-1/3)$ fascio: $(x + 2y)l + (2x + y − 1)m = 0$, assi: $3x + 3y − 1 = 0, x − y − 1 = 0$
Fin qui tutto ok. Mi propone poi una seconda richiesta:
• si determini il polo della retta r : $x + y = 0$ nella polarità indotta da C.
Risposta $P = (2, 1)$
Il problema su questa seconda parte che non riesco ad arrivare al punto P come da risposta.
Ciò che ho provato a fare è intersecare la retta r con la con C e trovo due punti d'intersezione; a questo punto traccio le polari di tali punti rispetto alla conica e poi le interseco in modo da trovare il polo della retta r visto che le polari dei punti di r passano per il polo di r per il principio di reciprocità.
Grazie a chi si interessa e sopratutto a chi risponde
Andrea
Risposte
Un altro mio tentativo è quello tracciare il piano tangente al punto P della quadrica (con $(x_p,y_p,1)$) e uguagliare i coefficienti con quelli della retta ma non esce. Mi risulta $P=(1,0)$.
Qualcuno potrebbe rispondere
Qualcuno potrebbe rispondere
Il metodo delle 2 tangenti è giusto: evidentemente ci sono errori nel tuo procedimento
(cosa non difficile, data la relativa complessità dei calcoli con le radici).
Esiste un altro metodo che utilizza le equazioni della polarià determinata dalla conica.
Tali equazioni nel tuo caso sono :
$a'=x+2y; b'=2x+y-t;c'=-y+t$
dove $(a',b',c')$ sono i coefficienti dell'equazione della retta polare che si cerca e $(x,y,t)$ sono le coordinate
proiettive omogenee del polo nel piano in cui si agisce.[Tieni presente che $(x,y,t)$ vengono spesso indicate
in altro modo].
Nel caso tuo, essendo $a'=1,b'=1,c'=0$, il sistema precedente diventa:
$x+2y=1;2x+y-t=1;-y+t=0$
Risolvendo il sistema si ha : $x=1/2;y=1/4;t=1/4$ e quindi il polo cercato è $(1/2,1/4,1/4)$
oppure $(2,1,1)$ in coordinate proiettive omogenee od anche $(2,1)$ nelle normali coordinate cartesiane.
(cosa non difficile, data la relativa complessità dei calcoli con le radici).
Esiste un altro metodo che utilizza le equazioni della polarià determinata dalla conica.
Tali equazioni nel tuo caso sono :
$a'=x+2y; b'=2x+y-t;c'=-y+t$
dove $(a',b',c')$ sono i coefficienti dell'equazione della retta polare che si cerca e $(x,y,t)$ sono le coordinate
proiettive omogenee del polo nel piano in cui si agisce.[Tieni presente che $(x,y,t)$ vengono spesso indicate
in altro modo].
Nel caso tuo, essendo $a'=1,b'=1,c'=0$, il sistema precedente diventa:
$x+2y=1;2x+y-t=1;-y+t=0$
Risolvendo il sistema si ha : $x=1/2;y=1/4;t=1/4$ e quindi il polo cercato è $(1/2,1/4,1/4)$
oppure $(2,1,1)$ in coordinate proiettive omogenee od anche $(2,1)$ nelle normali coordinate cartesiane.
Grazie mille Sandro. Tutto chiaro, o meglio, un solo dubbio: nei vari tentativi ho, anche, seguito il tuo stesso ragionamento e l'unica diversità è che ho considerato ciò che tu hai chiamato t come 1. In effetti non so il perché 
, cioè ho considerato il punto come un punto proprio e quindi ho fissato la t a 1 e in effetti, correggimi se sbaglio, non posso farlo appunto perché considero il generico punto.
Comunque grazie mille!!
, cioè ho considerato il punto come un punto proprio e quindi ho fissato la t a 1 e in effetti, correggimi se sbaglio, non posso farlo appunto perché considero il generico punto.Comunque grazie mille!!
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