Polinomio - tangente - secante

[leev]

Per un polinomio, esiste sempre un $h$ sufficientemente piccolo per cui la secante $(p(x+h) - p(x))/h$ è di valore assoluto inferiore alla pendenza nel punto $x$, $p'(x)$ ?
La risposta è no. (no?!)

Però se consideriamo il polinomio definito su un intervallo chiuso, e prendiamo $x$ per cui la pendenza è massimale, allora è vero?

[leev]

nada? nisba?
too easy?

[codino75]

non ho capito bene il senso ultimo della domanda.
preso un punto di una funzione ivi derivabile, l'inclinazione della secoante puo' essere maggiore o minore della tangente in quel punto, dipende dal valore della derivata seconda in quello stesso punto.
puoi essere piu' esplicito e magari fare 1 esempio?
alex

[leev]

Come hai detto, se prendi un punto la secante può essere maggiore o minore della tangente in quel punto; ma se prendi il punto per cui la tangente è massimale, allora tutte le secanti sono inferiori, no?!

in effetti, pensando alla derivata seconda,
se $x$ è il punto di derivata massimale, si ha
$p''(x)=lim (p'(x+h)-p'(x))/h$ è $<=0$ se h tende dal basso, e $>=0$ altrimenti. (Quindi, la derivata massimale è in un punto di flesso , ?!)
Dunque $p$ è concava a destra e convessa a sinistra, il che indica che le secanti sono inferiori...

Vabbo, se qualcuno dovesse mai leggere, mi lasci un segno

[codino75]

mi e' venuto in mente che c'e' questo teorema che forse t puo' interessare, riguardo al rapporto tra coeff. angolare della secante e della tangente:
data una f(x) continua e derivabile in [a,b]
esiste sempre un punto c in [a,b] tale che che
$f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)$